牛客练习赛14 A n的约数 （数论）

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来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld

题目描述

t次询问，每次给你一个数n，求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数

输入描述:

第一行一个正整数t
之后t行，每行一个正整数n

输出描述:

输出t行，每行一个整数，表示答案

示例1

输入

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5
13
9
1
13
16

输出

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6
4
1
6
6

备注:

对于100%的数据，t <= 500 , 1 <= n <= 1000000000000000000

思路：
一个正整数n，我们可以将其唯一分解得到  n= p1^(x1)*p2^(x2)*p3(x3)...*pk^(xk)
n的约数个数 是 (x1+1)*(x2+1)*(x3+1)*...*(xk+1)
其中 p1<p2<p3<p4... <pk
而 x1>x2>x3>x4>...>xk

那么我们就可以根据这个规律来枚举 小于等于n的质数的数量情况来求不大于n的约数个数最大数。

还有一点要注意的是，  不会是一个小质数的幂次方为0，而比他更大的质数的幂次方不为零，因为这样不最优。
我们要的最优不是数最大，而是 约数个数最大，约数个数根据 上面的公式可以看出，如果把大质数的次幂给小质数上，
约数个数不变的同时，总数值变小了，小数值再乘以更多的质数，又可以让约数个数变大，所以可以证明上述所说。

枚举中用一个变量limit来限定一个质数的幂次方最大值，因为要满足质数的幂次方递减的规律。，
细节见代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define rt return
#define dll(x) scanf("%I64d",&x)
#define xll(x) printf("%I64d\n",x)
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
ll powmod(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=;while(b){if(b%)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD;b/=;}return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn=;
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
int noprime[maxn+];
std::vector<int> p;
void getprime()
{
    int m=sqrt(maxn+0.5);
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
        {
            noprime[j]=;
        }
    }
    repd(i,,maxn)
    {
        if(!noprime[i])
        {
            p.push_back(i);
        }
    }
}
ll a[]={,,,,,,,,,,,,,,};
ll ans=0ll;
ll n;
void dfs(ll x,int id,int limit,ll num)
{
    ans=max(ans,num);
    if(id>=)
    {
        return ;
    }
    ll temp=a[id];
    for(int j=;j<=limit;j++)
    {
        if(x<=n/temp)
        {
            dfs(x*temp,id+,j,num*(j+));
            temp*=a[id];
        }else
        {
            break;
        }
    }

}
int main()
{
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);

    int t;
    gbtb;
    // cout<<(1ll<<60)<<endl;
    // cout<<(ll)1e18<<endl;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        ans=0ll;
        dfs(1ll,,,1ll);
        cout<<ans<<endl;
    }

    return ;
}

inline void getInt(int* p) {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '\n');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '');
        while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {
            *p = *p *  - ch + '';
        }
    }
    else {
        *p = ch - '';
        while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {
            *p = *p *  + ch - '';
        }
    }
}