牛客练习赛14 A n的约数 (数论)
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/82/A
来源:牛客网
空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
t次询问,每次给你一个数n,求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数
输入描述:
- 第一行一个正整数t
之后t行,每行一个正整数n
输出描述:
- 输出t行,每行一个整数,表示答案
备注:
- 对于100%的数据,t <= 500 , 1 <= n <= 1000000000000000000
- 思路:
一个正整数n,我们可以将其唯一分解得到 n= p1^(x1)*p2^(x2)*p3(x3)...*pk^(xk)
n的约数个数 是 (x1+1)*(x2+1)*(x3+1)*...*(xk+1)
其中 p1<p2<p3<p4... <pk
而 x1>x2>x3>x4>...>xk- 那么我们就可以根据这个规律来枚举 小于等于n的质数的数量情况来求不大于n的约数个数最大数。
- 还有一点要注意的是, 不会是一个小质数的幂次方为0,而比他更大的质数的幂次方不为零,因为这样不最优。
我们要的最优不是数最大,而是 约数个数最大,约数个数根据 上面的公式可以看出,如果把大质数的次幂给小质数上,
约数个数不变的同时,总数值变小了,小数值再乘以更多的质数,又可以让约数个数变大,所以可以证明上述所说。- 枚举中用一个变量limit来限定一个质数的幂次方最大值,因为要满足质数的幂次方递减的规律。,
细节见代码:
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- #include <cmath>
- #include <queue>
- #include <stack>
- #include <map>
- #include <set>
- #include <vector>
- #include <iomanip>
- #define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
- #define rt return
- #define dll(x) scanf("%I64d",&x)
- #define xll(x) printf("%I64d\n",x)
- #define sz(a) int(a.size())
- #define all(a) a.begin(), a.end()
- #define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
- #define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
- #define pii pair<int,int>
- #define pll pair<long long ,long long>
- #define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
- #define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
- #define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
- #define pb push_back
- #define mp make_pair
- #define fi first
- #define se second
- #define eps 1e-6
- #define gg(x) getInt(&x)
- #define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
- ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
- ll powmod(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=;while(b){if(b%)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD;b/=;}return ans;}
- inline void getInt(int* p);
- const int maxn=;
- const int inf=0x3f3f3f3f;
- /*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
- int noprime[maxn+];
- std::vector<int> p;
- void getprime()
- {
- int m=sqrt(maxn+0.5);
- for(int i=;i<=m;i++)
- {
- for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
- {
- noprime[j]=;
- }
- }
- repd(i,,maxn)
- {
- if(!noprime[i])
- {
- p.push_back(i);
- }
- }
- }
- ll a[]={,,,,,,,,,,,,,,};
- ll ans=0ll;
- ll n;
- void dfs(ll x,int id,int limit,ll num)
- {
- ans=max(ans,num);
- if(id>=)
- {
- return ;
- }
- ll temp=a[id];
- for(int j=;j<=limit;j++)
- {
- if(x<=n/temp)
- {
- dfs(x*temp,id+,j,num*(j+));
- temp*=a[id];
- }else
- {
- break;
- }
- }
- }
- int main()
- {
- //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);
- //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);
- int t;
- gbtb;
- // cout<<(1ll<<60)<<endl;
- // cout<<(ll)1e18<<endl;
- cin>>t;
- while(t--)
- {
- cin>>n;
- ans=0ll;
- dfs(1ll,,,1ll);
- cout<<ans<<endl;
- }
- return ;
- }
- inline void getInt(int* p) {
- char ch;
- do {
- ch = getchar();
- } while (ch == ' ' || ch == '\n');
- if (ch == '-') {
- *p = -(getchar() - '');
- while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {
- *p = *p * - ch + '';
- }
- }
- else {
- *p = ch - '';
- while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {
- *p = *p * + ch - '';
- }
- }
- }
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