[CSP-S模拟测试]:Revive（点分治）

题目背景

$Sparkling\ ashes\ drift\ along\ your\ flames \\ And\ softly\ merge\ into\ the\ sky$

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题目传送门（内部题14）

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输入格式

第一行一个整数$id$表示子任务编号。
接下来一行两个整数$n,q$。
接下来$n-1$行，第$i$行两个整数$f_{i+1},w_{i+1}$，分别表示树上$i+1$的父亲，以及到父亲的边的生机值。
接下来$q$行，每行两个整数$u,addw$，表示把$u$到$u$的父亲的边的生机值加上$addw$。

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输出格式

第一行一个整数，表示所有操作前这棵树的生机值。
接下来$q$行，第$i$行一个整数表示第$i$个操作后整棵树的生机值。

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样例

样例输入：

3
5 3
1 3
1 4
2 2
2 1
2 7
3 3
4 2

样例输出：

274
1072
1402
1562

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数据范围与提示

对于所有数据，有$\leqslant n\leqslant {10}^5,0\leqslant q\leqslant 5\times {10}^5,0\leqslant w_i,addw\leqslant {10}^9,1\leqslant f_i\leqslant i$

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题解

对于一些带平方的式子，把平方拆开有时会很有用，比如这道题（$Path(u,v)$表示$u$到$v$路径上的边的编号集合）：

$ans=\sum \limits_{u,v\in [1,n],u<v}{(\sum \limits_{e\in Path(u,v)}w_e)}^2$
$=\sum \limits_{u,v\in [1,n],u<v}(\sum \limits_{e\in Path(u,v)}w_e^2+\sum \limits_{a,b\in Path(u,v),a<b}2\times w_a\times w_b)$
$=\sum \limits_{e\in [2,n]}w_e^2\times($经过的$e$的路径数$)+\sum \limits_{a,b\in [2,n],a<b}2\times w_a\times w_b\times ($同时经过$a,b$两条边的路径数$)$

经过$e$的路径书就是$e$两边子树的$size$之积，主要是计算经过两条边的路径数。

那么考虑如何解决这道题，有两种解法，一种是点分治，另一种挺玄学的，我不会，那我就来讲一下点分治的做法。

每次考虑所有路径经过重心$P$的边对的贡献，若$i$在以$P$为根时的整棵树上的$size$为$sz(P,i)$，那么经过$a,b$的路径数为$sz(a,i)\times sz(b,i)$，记录重心的每个子树的$sz(P,i)\times w_i$的和就可以方便地计算了。

修改时需要把分治结构存下来，对于每个点包括这条边的分治重心重新计算一下其所属子树的贡献即可。

时间复杂度：$\Theta((n+q)\log n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
	int nxt;
	int to;
}e[200000];
int head[100001],cnt=3;
int n,q;
int fa[100001],w[100001];
int size[100001],wzc[200000];
bool vis[100001];
int sub[100001][22],sum[100001];
int c[100001],g[100001][22],bel[100001][22],coe[100001][22];
int ans,nowsize,minsize,root;
void add(int x,int y)
{
	e[++cnt].nxt=head[x];
	e[cnt].to=y;
	head[x]=cnt;
}
void pre_dfs(int x)
{
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to!=fa[x])
		{
			pre_dfs(e[i].to);
			ans=(ans+1LL*size[e[i].to]*(n-size[e[i].to])%1000000007*w[e[i].to]%1000000007*w[e[i].to])%1000000007;
			wzc[i]=size[e[i].to];
			wzc[i^1]=n-size[e[i].to];
			size[x]+=size[e[i].to];
		}
}
void pro_dfs(int x,int fa)
{
	int mx=0;
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(!vis[e[i].to]&&e[i].to!=fa)
		{
			pro_dfs(e[i].to,x);
			size[x]+=size[e[i].to];
			mx=max(mx,size[e[i].to]);
		}
	mx=max(mx,nowsize-size[x]);
	if(mx<minsize)
	{
		minsize=mx;
		root=x;
	}
}
void calc(int x,int f,int d,int id)
{
	c[f>>1]=d;
	g[f>>1][d]=root;
	bel[f>>1][d]=id;
	sub[id][d]=(sub[id][d]+1LL*wzc[f^1]*w[f>>1])%1000000007;
	coe[f>>1][d]=wzc[f^1];
	if(vis[x])return;
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(i!=f)
		{
			calc(e[i].to,i^1,d,id);
			if(!vis[e[i].to])size[x]+=size[e[i].to];
		}
}
void divide(int rt,int w,int dep)
{
	nowsize=minsize=w;
	root=rt;
	pro_dfs(rt,0);
	vis[root]=1;
	size[root]=0;
	int x=root;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		calc(e[i].to,i^1,dep,i>>1);
		ans=(ans+2LL*sub[i>>1][dep]*sum[x])%1000000007;
		sum[x]=(sum[x]+sub[i>>1][dep])%1000000007;
	}
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(!vis[e[i].to])
			divide(e[i].to,size[e[i].to],dep+1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&n,&q);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&fa[i],&w[i]);
		add(fa[i],i);
		add(i,fa[i]);
	}
	pre_dfs(1);
	divide(1,n,1);
	printf("%d\n",ans);
	while (q--)
	{
		int x,addw;
		scanf("%d%d",&x,&addw);
		for(int i=1;i<=c[x];i++)
		{
			int delta=1LL*coe[x][i]*addw%1000000007;
			ans=(ans+2LL*(1000000007+sum[g[x][i]]-sub[bel[x][i]][i])*delta)%1000000007;
			sub[bel[x][i]][i]=(sub[bel[x][i]][i]+delta)%1000000007;
			sum[g[x][i]]=(sum[g[x][i]]+delta)%1000000007;
		}
		ans=(ans+(2LL*w[x]+addw)*addw%1000000007*wzc[x<<1]%1000000007*wzc[x<<1|1])%1000000007;
		w[x]=(w[x]+addw)%1000000007;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

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