AtCoder ABC 076D - AtCoder Express
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本题是一个运动学问题——匀变速运动。
一个质点,从静止开始运动。按照速度限制,可将运动划分成n个阶段,第i个阶段的时间为ti s,速度上限为vi m/s。已知这个质点的加速度大小只取0或±1m/s2。以及,质点在最初和最终的时刻速度为0。求质点的最大位移。
以下变量均采用国际单位制。
对于运动某一个阶段(例如第i个阶段),可以分成三个子阶段:匀加速运动、匀速运动和匀减速运动。记三个子阶段的时间分别为inc、kep、dec,则inc+kep+dec=t[i]。记下一个阶段的限速为lim,则:
- 匀加速阶段:inc=min{vi-cur,(lim+t[i]-cur)/2,t[i]};
- 匀减速阶段:dec=max{0,cur+inc-lim};
- 匀速阶段:kep=t[i]-inc-dec。
于是,分别对这三段时间计算位移,求和即可。时间复杂度为O(n2),空间复杂度为O(n)。
参考程序如下:
#include <stdio.h>
#define MAX_N 101 double t[MAX_N], v[MAX_N]; double max(double a, double b)
{
return a > b? a: b;
} double min(double a, double b)
{
return a < b? a: b;
} int main(void)
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++)
scanf("%lf", &t[i]);
for (int i = ; i < n; i++)
scanf("%lf", &v[i]);
double cur = .;
double ans = .;
for (int i = ; i < n; i++) {
double inc, kep, dec;
double lim = .E8;
double tmp = .;
for (int j = i + ; j <= n; j++) {
lim = min(lim, v[j] + tmp);
tmp += t[j];
}
inc = min(v[i] - cur, (lim + t[i] - cur) * .);
inc = min(inc, t[i]);
dec = max(., cur + inc - lim);
kep = t[i] - inc - dec;
ans += . * (cur * . + inc) * inc;
ans += (cur + inc) * kep;
ans += . * ((cur + inc) * . - dec) * dec;
cur += inc;
cur -= dec;
}
printf("%f\n", ans);
return ;
}
本题也可以从以下角度考虑:
仅考虑一个区间:若在时间区间[l,r]上的速度上限为v,则在整个时间区间[0,T]上,速度上限函数为
$$f(t)=\begin{cases} v+(l-t),0\le t<l\\v,l\le t\le r\\v+(t-r),r<t\le T\end{cases}$$
其中,$T=\sum_{i=1}^{n}t_i$。
对于阶段i,对应的时间区间为$[\sum_{j=1}^{i-1}t_j , \sum_{j=1}^{i}t_j ]$,速度上限为vi,相应的速度上限函数记为fi(t)。考虑所有的区间,则速度上限函数为$f(t)=\min\{t,T-t,f_{i}(t)|1\le i\le n\}$。
由于vi、ti均是正整数,因此可以将t轴的最小单位设置为Δt=0.5s。可以假定从0时刻开始,在每一个Δt=0.5s内,质点的加速度是恒定的。则以Δt=0.5s为单位,用f(t)刻画质点运动的v-t图像,并用加速度的限制条件修正v(t)。通过质点运动的v-t图像计算其最大位移(即v-t曲线与t轴围成的图形面积)。时间复杂度为O(nT),空间复杂度为O(n+T)。
参考程序如下:
#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
#define MAX_T 40000 int t[MAX_N];
double v[MAX_N], f[MAX_T]; double min(double a, double b)
{
return a < b? a: b;
} int main(void)
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++)
scanf("%d", &t[i]);
for (int i = ; i < n; i++)
scanf("%lf", &v[i]);
for (int i = ; i < MAX_T; i++)
f[i] = .E8;
int tot = ;
for (int i = ; i < n; i++) {
t[i] *= ;
for (int j = tot; j <= tot + t[i]; j++)
f[j] = min(f[j], v[i]);
tot += t[i];
}
f[] = f[tot] = .;
for (int i = ; i <= tot; i++)
f[i] = min(f[i], f[i - ] + .);
for (int i = tot - ; i >= ; i--)
f[i] = min(f[i], f[i + ] + .);
double ans = .;
for (int i = ; i < tot; i++)
ans += . * (f[i] + f[i + ]);
printf("%f\n", ans);
return ;
}
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