negative binomial（Pascal） distribution —— 负二项式分布（帕斯卡分布）

1. 定义

假设一串独立的伯努利实验（0-1，成功失败，伯努利实验），每次实验（trial）成功和失败的概率分别是 p 和 1−p。实验将会一直重复下去，直到实验失败了 r 次。定义全部实验中成功的次数为随机变量 X，则：

X∼NB(r;p)

2. PMF（概率质量函数）

f(k;r,p)≡Pr(X=k)=(r+k−1k)pk(1−p)r

• 最后一次显然为失败，前 r+k−1 中发生 k 次成功；

之所以称其为 negative binomial distribution（负二项式分布），在于：

(r+k−1k)=(r+k−1)!k!(r−1)!===(r+k−1)(r+k−2)…(r)k!(−1)k(−r)(−r−1)…(−r−k+1)k!(−1)k(−rk)

此时不妨对其能否构成概率分布进行简单验证：

∑kPr(X=k)====(1−p)r∑k(−1)k(−rk)pk(1−p)r∑k(−rk)(−p)k(1−p)r⋅(1−p)−r1

3. 负二项分布与泊松分布的关系

想要负二项分布中出现 λ，不妨令 p=λλ+r，当 r→∞：

fX(x)====(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!pk(1−p)r(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!λk(λ+r)k(rλ+r)rλkk!(1(1+λr)r)λkk!e−λ