【Bitset】重识

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一题题目：

一题题解：

• 这个题目哪来入门再好不过了，支老板之前没有接触过这个东西，然后一点即通：就是把一个int(32位)拆成32个只放0或1的位置，然后这32个的单点操作或者32个一起操作的复杂度是O(1)，所以长度位N的bitset的一次单点操作是O(1),整体操作是O(N/w)，其中w=32。（long long 是64）。

• 然后Bitset还有强大是&和|功能，以及count(1)等功能。

• 但是Bitset最厉害的地方在于优化图论的dfs部分： 我们知道，dfs的时候对于当前点X，会继续访问和X有关联的所有点，continue忽略vis过的点。而有了bitset，我们可以直接得到有关联的，而且没有vis过的点，这样可以保证不去访问不必要的边，这在稠密图里改进极大。

 

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二题题目：

二题题解：

• 跳过缩点建图。
• 第一部分是求Bitset，得到每个点可以访问到的点。 

• 第二部分求对应的权值和，巧妙的利用了分块来优化，复杂度/13。而且这个13的选择也是经过计算的，2^13<n，保证分块计算的复杂度影响小于前面的复杂度，新技能，学到了。

POJ3275：Ranking the Cows

题意：有N头奶牛，现在给出M对产奶量关系U>V，问至少还需要知道多少奶牛可以做到全部奶牛产奶关系。

思路：有向图，问至少再加多少边，使得任意两点S、T的可以到达（S到达T或者到达S）。闭包传递后不能到达的需要加边，ans++。

至于为什么ans++，可以参考，http://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8538980.html

Floyd稍微优化：    注意边少，可以加一维限制，勉强通过。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int mp[maxn][maxn];
int main()
{
    int N,M,ans,i,j,k;
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        ans=;
        memset(mp,,sizeof(mp));
        for(i=;i<=M;i++){
            scanf("%d%d",&j,&k);
            mp[j][k]=;
        }
        for(k=;k<=N;k++)
         for(i=;i<=N;i++)
          if(mp[i][k])
           for(j=;j<=N;j++)
            if(mp[k][j]) mp[i][j]=;
        for(i=;i<=N;i++)
         for(j=i+;j<=N;j++)
          if(!mp[i][j]&&!mp[j][i])
           ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}

Bitset优化Floyd： 复杂度降为O(N^3/32)<3*10^7。

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
bitset<maxn>mp[maxn];
int main()
{
    int N,M,ans,i,j,k;
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        ans=;memset(mp,,sizeof(mp));
        for(i=;i<=M;i++){
            scanf("%d%d",&j,&k);
            mp[j].set(k);
        }
 
        for(k=;k<=N;k++)
         for(i=;i<=N;i++)
          if(mp[i][k])
           mp[i]|=mp[k];
        for(i=;i<=N;i++)
         for(j=i+;j<=N;j++)
          if(!mp[i][j]&&!mp[j][i])
           ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}
 

POJ2443：Set Operation

题意：给定N个集合，Q次询问，对每次询问，求X，Y是否在同一集合出现过，注意X=Y时，X在一个集合里至少出现一次就满足了。

思路：用Bitset来表示每个元素在哪些集合出现过，如果X和Y出现的集合有交集，则满足。

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
bitset<>s[maxn+];
int read()
{
    char c=getchar(); int res;
    while(c>''||c<'') c=getchar();
    for(res=;c>=''&&c<='';c=getchar()) res=(res<<)+(res<<)+c-'';
    return res;
}
int main()
{
    int N,Q,i,num,x,y;
    while(~scanf("%d",&N)){
        for(i=;i<=maxn;i++) s[i].reset();
        for(i=;i<=N;i++){
            num=read();
            while(num--){
                x=read();
                s[x][i]=; //s[x].set(i);
            }
        }
        Q=read();
        while(Q--){
            x=read(); y=read();
            if((s[x]&s[y]).count()) puts("Yes"); //.any()
            else puts("No");
        }
    }
    return ;
}

AtCoder - 3857：Median Sum

题意：给定N个数，有2^N-1种非空组合，求这些组合的和排序后的中位数。

思路：由对称性，知道中位数略大于Sum/2，所以我们从（Sum+1）/2后面所有的可能中，选择最近的一个。（证明见下面。）

具体实现：需要得到背包结果有哪些可能性，这个只需要Bitset加速一下即可得到。

证明：见前辈写的，很清晰，只要利用对称性即可。http://blog.csdn.net/zzzzone/article/details/79115522

#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
bitset<maxn*maxn+>s;
int main()
{
    int N,x,ans;
    while(~scanf("%d",&N)){
        s.reset(); ans=;
        s[]=;
        for(int i=;i<=N;i++){
            scanf("%d",&x);
            s|=(s<<x);
            ans+=x;
        }
        for(int i=(ans+)/;;i++){
            if(s[i]){
               printf("%d\n",i);
               break;
            }
        }
    }
    return ;
}

CodeForce 914F：Substrings in a String

题意：

给定一个小写字符组成的字符串S；现在有Q种操作，对于每个操作Q，输入opt，如果opt==1，输入x，c，表示把S[x]改为c，（c是小写字母）。 如果opt==2，输入字符串T，输出S种有多少个字串==T（字串可以重叠）,

思路：

          1，假设我们要统计S里有多少个T，先统计S里面字符==T[0]的是哪些，然后统计S中有T[0]的位置后面跟的字符==T[1]的有哪些，然后统计S中有T[0]的位置后面跟的字符==T[1]的而且后面跟的字符==T[2]的有哪些.....直到对比到S[len-1]。

2，最后利用位移可以得到某个区间的1的个数。

#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
bitset<maxn>s[],ans;
char a[maxn],b[maxn],c[];
void read(int &res)
{
    char c=getchar();
    while(c>''||c<'') c=getchar();
    for(res=;c>=''&&c<='';c=getchar()) res=(res<<)+(res<<)+c-'';
}
int main()
{
    scanf("%s",a+);
    int T=strlen(a+);
    int i,j,l,r,Q,opt;
    for(i=;i<=T;i++)
        s[a[i]-'a'].set(i);
    read(Q);
    while(Q--){
        read(opt);
        if(opt==){
            scanf("%d%s",&j,c);
            s[a[j]-'a'][j]=;
            s[(a[j]=c[])-'a'][j]=;
        }
        else {
            read(l); read(r);
            scanf("%s",b);
            int S=strlen(b);
            if(S>r-l+) {
                 puts(""); continue;
            }
            ans.set();
            for(i=;i<S;i++){
                ans&=(s[b[i]-'a']>>i);
            }
            printf("%d\n",(ans>>l).count()-(ans>>(r-S+)).count());
        }
    }
    return ;
}

CodeForces-707D：Persistent Bookcase

题意：现在有一个N*M的书架，有Q个操作，对于每个操作，输入opt：

如果opt==1，那么输入x，y，如果第x行第y列无书，则放一本书。

如果opt==2，那么输入x，y，如果第x行第y列有书，则取走那本书。

如果opt==3，那么输入x，将第x行有书的取走，无书的位置放一本。

如果opt==4，那么输入k，表示把书架的情况恢复为第k次操作后的样貌，k在当前操作之前。

思路：初看可能是可持久化数据结构，但是注意到整体操作顺序为有根树，可以DFS回溯，对于书架上的情况，可以直接积累或者Bitset假设。

#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
const int maxm=;
bitset<maxn>s[maxn],P;
int N,M,Q;
int Laxt[maxm],Next[maxm],To[maxm],cnt;
int opt[maxm],x[maxm],y[maxm],ans[maxm];
void read(int &res)
{
    char c=getchar(); res=;
    for(;c>''||c<'';c=getchar());
    for(;c<=''&&c>='';c=getchar()) res=(res<<)+(res<<)+c-'';
}
void add(int u,int v)
{
    Next[++cnt]=Laxt[u];
    Laxt[u]=cnt;
    To[cnt]=v;
}
void dfs(int u,int Now)
{
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
        int v=To[i];
        if(opt[v]==&&s[x[v]][y[v]]==) {
                s[x[v]][y[v]]=;
                ans[v]=Now+;
                dfs(v,ans[v]);
                s[x[v]][y[v]]=;
        }
        else if(opt[v]==&&s[x[v]][y[v]]==) {
                s[x[v]][y[v]]=;
                ans[v]=Now-;
                dfs(v,ans[v]);
                s[x[v]][y[v]]=;
        }
        else if(opt[v]==){
                ans[v]=Now-s[x[v]].count();
                s[x[v]]^=P;
                ans[v]+=s[x[v]].count();
                dfs(v,ans[v]);
                s[x[v]]^=P;
        }
        else {
                ans[v]=Now;
                dfs(v,ans[v]);
        }
     }
}
int main()
{
    read(N); read(M); read(Q);
    for(int i=;i<=M;i++) P.set(i);
    for(int i=;i<=Q;i++){
        scanf("%d",&opt[i]);
        if(opt[i]==||opt[i]==) read(x[i]),read(y[i]);
        else read(x[i]);
        if(opt[i]==) add(x[i],i);
        else add(i-,i);
    }
    dfs(,);
    for(int i=;i<=Q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return ;
}

还有两个很重要的函数，去遍历哪些为1的地方，bitset._Find_first()，和bitset._Find_next(i)