说实话,这次的初赛比上一次的要简单。

不过还有些变态的题目。


  1. 在一条长度为1 的线段上随机取两个点,则以这两个点为端点的线段的期望

    长度是( )。

    A. 1 / 2

    B. 1 / 3

    C. 2 / 3

    D. 3 / 5

赛场做法

这题,一眼看下去,我就有点懵了。

后来,又想想有关期望的性质,然后……

画出一条线段,平均分成几份,将所有情况求出来,然后算出期望值。

算了两次,第一次分4份,第二次分6分。

结果都是13\frac{1}{3}31​

证明

我在网上翻到一篇有关这个的证明的博客,结果,那博客秀了强大的微积分……

后来,同学告诉我一个比较好理解的证法:

考虑归纳证明

假设现在有一条线段,长度为lll。

利用分治的思想,在中间取个中点,设为MMM。它将线段等分成两段。

设最终得到的线段的端点分别为XXX,YYY。

根据它们的位置,大体上有两种情况:

  1. XXX和YYY在MMM异侧,则XY‾=XM‾+YM‾\overline{XY}=\overline{XM}+\overline{YM}XY=XM+YM。显然,在期望情况下,两者皆为x4\frac{x}{4}4x​,所以,XY‾=x2\overline{XY}=\frac{x}{2}XY=2x​。
  2. XXX和YYY在MMM同侧,则XY‾=x6\overline{XY}=\frac{x}{6}XY=6x​

∴x2+x62=x3\therefore\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{6}}{2}=\frac{x}{3}∴22x​+6x​​=3x​

得证。


  1. 假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球,任意时刻按下抽奖按钮,都会等概率

    获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖,假如他们的

    策略均为:抽中蓝球则继续抽球,抽中红球则停止。最后每个人都把自己获

    得的所有球放到一个大箱子里,最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于

    ( )。

    A. 1 : 2

    B. 2 : 1

    C. 1 : 3

    D. 1 : 1

赛场做法&证明

其实这个比较简单。

设蓝球期望为xxx,则x=1+x2x=\frac{1+x}{2}x=21+x​。

解得x=1x=1x=1


方程 a*b = (a or b) * (a and b),在 a,b 都取 [0, 31] 中的整数时,

共有_____组解。(*表示乘法;or 表示按位或运算;and 表示按位与运算)

赛场做法

第一眼看下去,就觉得这一定是一道神仙题。

果然,还真TM是神仙题。

我先考虑了一个情况:

如果a and ba\ and\ ba and b和a or ba\ or \ ba or b中,这两个数由aaa和bbb组成。

那么很显然的是,一定有其中一个是另外一个的子集。

然后乱搞一波,减去重复的,得出454454454。

然后我还觉得有其它的情况,结果想了半天,没有想出来,最后就交了这个答案……

于是莫名切了。

证明

设x=a xor bx=a\ xor\ bx=a xor b

a and b=a+b−x2a\ and\ b=\frac{a+b-x}{2}a and b=2a+b−x​

a or b=a+b+x2a\ or\ b=\frac{a+b+x}{2}a or b=2a+b+x​

∴(a and b)∗(a or b)=(a+b)2−x24\therefore \left(a\ and\ b\right)*\left(a\ or\ b\right)=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}∴(a and b)∗(a or b)=4(a+b)2−x2​

∴a∗b=(a+b)2−x24\therefore a*b=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}∴a∗b=4(a+b)2−x2​

∴(a−b)2=x2\therefore \left(a-b\right)^2=x^2∴(a−b)2=x2

得证。


然后就没有什么别的特别难的题目了。

总结一下:

  1. 期望题分治看看。
  2. 位运算有很多规律,有时候异或很有用。

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