题解【洛谷P5658】[CSP-S 2019]括号树

题面

一道简单的栈与\(\text{DP}\)的结合。

首先介绍一下序列上的括号匹配问题，也就是此题在序列上的做法：

• 设 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的合法的括号序列个数， \(ss_i\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 合法的括号序列字串个数。
• 维护一个栈，左括号 \(\text{push}\) 它的位置到栈中，右括号取出栈顶 \(dp_i = dp_{sta_{top} - 1} + 1\) ， 然后 \(ss_i=ss_{i-1}+dp_{i}\)。
• 答案即为 \((1\times ss_1) \oplus (2 \times ss_2) \oplus \dots \oplus (n \times ss_n)\) ，其中 \(\oplus\) 为异或。

考虑将这个问题转移到树上，只需要一个可回退的栈即可。

这题真的不难，我考场上为什么没想出来啊

我太菜了

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define itn int
#define gI gi
#define int long long

using namespace std;

inline int gi()
{
	int f = 1, x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return f * x;
}

const int maxn = 500003;

int n, ans, topp, ss[maxn], dp[maxn], sta[maxn], sum[maxn];
int fa[maxn], tot, head[maxn], ver[maxn * 2], nxt[maxn * 2];
char s[maxn];

inline void add(int u, int v) {ver[++tot] = v, nxt[tot] = head[u], head[u] = tot;}

void dfs(int u, int f)
{
	int fl = -1;
	if (s[u] == '(') sta[++topp] = u; //左括号加入栈
	else if (topp > 0) //右括号且栈中有对应的左括号
	{
		fl = sta[topp--]; //栈顶元素
		dp[u] = dp[fa[fl]] + 1; //dp 数组记得 +1
	}
	sum[u] = sum[fa[u]] + dp[u]; //sum[u] 表示 1 到 u 的路径上合法括号序列的个数
	for (int i = head[u]; i; i = nxt[i])
	{
		int v = ver[i];
		if (v == f) continue;
		dfs(v, u);
	}
	//将栈还原到访问节点 u 之前的状态
	if (s[u] == '(') --topp;
	else if (fl != -1)
	{
		sta[++topp] = fl;
	}
}

signed main()
{
	//freopen(".in", "r", stdin);
	//freopen(".out", "w", stdout);
	n = gi();
	scanf("%s", s + 1);
	bool fl = true;
	for (int i = 2; i <= n; i+=1)
	{
		fa[i] = gi();
		if (fa[i] != i - 1) fl = false;
		add(fa[i], i), add(i, fa[i]);
	}
	if (fl) //序列上的做法
	{
		for (int i = 1; i <= n; i+=1)
		{
			if (s[i] == '(') sta[++topp] = i;
			else if (topp) dp[i] = dp[sta[topp--] - 1] + 1;
			ss[i] = ss[i - 1] + dp[i];
			ans ^= (i * ss[i]);
		}
		printf("%lld\n", ans);
		return 0;
	}
	dfs(1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; i+=1) ans ^= (i * sum[i]);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}