前面介绍了一些常用的比较排序算法,它们都是通过比较两个元素的大小进行排序,归并排序和堆排序在最坏情况下的复杂度为O(nlgn),可以证明(使用决策树模型),通过比较进行排序,算法的下界为O(nlgn),因此,归并排序和堆排序是渐进最优的算法,快速排序在平均情况也可达到该下界。

不过,对于一些特殊的输入元素,可以在线性时间完成排序,常见的算法有计数排序、基数排序、桶排序。

计数排序

计数排序假设n个输入元素每一个都是在0到k之间的整数,k为某个整数,当k=O(n)时,计数排序的运行时间为O(n)。

思想:对于每一个输入元素x,计算小于x的元素个数,通过这一信息,可以确定x在排序后的位置,将其正确放置即可。如小于x的元素有4个,那么x应该放在第5个位置上,以此类推。当然,若有多个元素相同,又不可能将它们放置在同一位置,则要在遍历过程中动态修改小于等于x的个数,如:有a个元素小于等于x,且x的值重复出现b次,则遇到第一个x时,将其放在第a位,并使a减1,下次遇到x,则放在第a-1位,最终,b个x放置的位置为(a-b ... a)。算法的核心步骤是如何在线性时间确定小于x的元素个数,这就是假设元素在0到k之间的原因。

#include<iostream>
#define k 100 //输入元素大小在0-99之间。
using namespace std;
void counting_sort(int* A, int* B, int len){
int c[k] = {};
for(int i=;i<len;i++)
c[A[i]] += ;
for(int i=;i<k;i++)
c[i] += c[i-];
for(int i=len-;i>=;i--){ //从后往前遍历数组,可以保证排序的稳定性,具有相同值的元素在排序后相对次序不变。
B[c[A[i]]-] = A[i];
c[A[i]] -= ;
}
} int main(){
int A[] = {,,,,,,,,};
int B[];//排序后的数组
counting_sort(A, B, );
for(int i=;i<;i++)
cout<<B[i]<<" ";
cout<<endl;
}

基数排序

基数排序是一种用在卡片排序机上的算法,其基本过程是对于n个d位整数,从低位到高位依次进行排序,d位数则需要进行d次排序操作,排序使用稳定的排序算法,如计数排序。

为何需要稳定的排序算法呢?下面举个简单的例子说明一下:

假设输入元素为4个3位数,

375

491

604

465

第一次,对最低位进行排序(最右列),结果为

491

604

375

465

第二次,对中间列进行排序:

604

375

465

491

第三次,对最高位进行排序:

375

465

491

604

以上是稳定排序的结果,若排序算法不稳定,那么在第三次排序后得到的结果可能是

375

491

465

604

这是错误的,虽然保证了最高位按照顺序排列,但最高位相同时,中间列的大小关系就起到关键作用,不稳定的排序算法会导致中间列的相对顺序改变,从而得到错误的结果。

桶排序

桶排序假设输入数据服从均匀分布,则平均情况下,时间代价为O(n)。

思想:桶排序与计数排序类似,都对输入数据进行假设,桶排序假设输入数据由一个随机过程均匀独立的分布在[0,1)区间上,将[0,1)区间划分为n个大小相同的子区间(桶),然后将n个输入数据分别放在各个桶中,先对每个桶中元素排   序,然后按照桶的次序输出桶中的元素。

#include<iostream>
#define len 10
using namespace std;
struct node{
double key;
struct node* next;
}; //定义链表结点 void Insert_Sort(node*& head){ //对链表使用插入排序
node* t = head;
while(t->next){
node* p = head;
node* pre = NULL;
node* q = t->next;
while(p != q){
if(p->key >= q->key)
break;
pre = p;
p = p->next;
}
if(pre == NULL){
head = q;
t->next = q->next;
q->next = p;
}
else if(p != q){
pre->next = q;
t->next = q->next;
q->next = p;
}
else
t = t->next;
}
} void Bucket_Sort(double A[]){
node* B[len]; //使用指针数组B作为桶存放数据。
for(int i=;i<len;i++)
B[i] = NULL;
for(int i=;i<len;i++){ //将输入元素A[]放入桶中(B[])。
node* p = new node;
p->key = A[i];
p->next = B[int(len*A[i])];
B[int(len*A[i])] = p;
}
int j = ;
for(int i=;i<len;i++) //将桶中数据排序后依次插入数组A中
if(B[i] != NULL){
Insert_Sort(B[i]);
node* t = B[i];
while(t){
A[j++] = t->key;
node* d = t;
t = t->next;
delete d;
}
}
} int main(int argc, char* argv[]){
double A[len] = {0.93, 0.41, 0.44, 0.26, 0.82, 0.31, 0.67, 0.94, 0.37, 0.62};
Bucket_Sort(A);
for(int i=;i<len;i++)
cout<<A[i]<<" ";
cout<<endl;
return ;
}

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