Mixed Far-Field and Near-Field Source Localization Based on Subarray Cross-Cumulant

基于子阵列互累积量（Cross-Cumulant）的远场和近场混合声源定位[1]。

文中采用Uniform linear array (ULA)阵列，将其分为两个互相重叠的子阵列，构建关于子阵列输出信号的两个特殊cross-cumulant matrices，而这两个矩阵仅仅与源信号的DOA有关。

信号模型

阵列模型如下：

K个窄带信号，阵元数目为2M+1的对称ULA阵列。假设中间阵元为相位基准。则第m个传感器的接收信号可以表示为：

其中为第k个入射信号的波形，为第m个传感器的噪声，为第k个源信号从阵元0到阵元m个传播时间（时延）。

当第k个入射信号是near-field信号时，满足如下形式：

λ表示波长，和分别表示第k个源信号的DOA和range。根据菲涅耳区域的定义，，并且表示阵列孔径。

当第k个入射信号是far-field信号时，满足形式：

将公式（1）写为矩阵形式，可以表示为：

其中和是维度为的复数向量，并且有：

其中(2M + 1) × 1 的导向矢量表示为：

需要注意的是，在公式（6）表示的接收信号模型，前个源信号假定为FF源（近场源信号），剩余个假定为NF源（远场源信号）。

本文有如下先验假设：

（1）源信号是统计独立的，采用非零峭度进行零均值随机处理。

（2）传感器噪声是加性的空间高斯白噪声，具有零均值。并且和源信号互相独立。

（3）已知源信号数目K，或者已经采用信息论准则准确估计得到。

提出算法

1、FF源和NF源的DOA估计

基于上述假设，阵列输出信号的四阶累计量表示为：

有。其中第k个源信号的峭度表示为：。

使得，，公式（14）可以写作：

如图1所示，我们将ULA阵列划分为两个相互重叠的子阵列Y和Z，用以构建子阵列输出信号的cross-cumulant matrices，从此推导累积量的平移不变性。子阵列Y和Z的接收信号向量可以表示为：

                          

很明显地，y(t)的第m个元素为，z(t)的第m个元素为。

根据上述子阵列的输出信号和公式（15），可以构建两个互累积量矩阵，其第个元素为：

                                  

其中。注意上述两个互累积量矩阵可以仅用DOAs表示。

C1表示为紧凑的矩阵形式：

其中，虚拟的“阵列流型矢量”为，并且

同理，C2可以表示为：

其中。

结合C1和C2，得到(4M - 2) × (4M - 2) 矩阵为：

                                               

对C进行特征值分解，得到：

其中，并且是包含K个C的最大特征值以及(4M-2-K)个C的最小特征是的对角矩阵。和分别是对应的特征向量组成的矩阵。

基于子阵列理论，张成的列空间，这表示存在一个K×K的矩阵T使得：。

使得E1和E2为Es的最大和最小(2M-1)×K的半矩阵，由上式得到：，组成结果：

其中。公式（28）可以用TLS准则求解，其特征值是和源信号的DOAs相关的。使得V为的2K×2K的右奇异向量，当V被划分为4个K×K子阵列：

则公式（28）的解可以给出：

假设是的第k个特征值，则第k个源信号的DOA可以给出：

2、源辨识和距离估测

对接收信号的相关矩阵进行EVD，得到：

其中和分别为包含R的K个最大特征值和(2M+1-K)个最小特征值的对角矩阵。和分别为对应的特征向量组成的矩阵。

根据上述DOA估计值，代入到下述谱函数中：

可以计算估计距离。

此处和无需其他处理，自动匹配。实际上，我们就可以辨别不同的源信号了，当时，第k个源为NF源；当时为FF源，此时使得为。

3、讨论

1）需要注意的是，为了避免中的元素出现相位模糊性，文中提出算法要求。

2）鉴于四阶累计量矩阵C1和C2的维度是2M-1，对于一个包含2M+1个真元的ULA，最多可以定位2M-2个不同源信号。不同的是，二阶MUSIC算法和高阶MUSIC算法可以分别最多处理M和2M个源信号。

3）对于文中提出方法，主要的计算量在于构建累积量矩阵，计算协方差矩阵，及其EVDs和距离搜索，需要乘法次数次，其中为在菲涅尔域内搜索点数。

因为除了搜索距离，还需要估计DOAs，高阶MUSIC算法需要的乘法次数为 。

二阶MUSIC算法需要的乘法次数为。其中是在角度域中需要搜索的点数。

需要注意的是，文中所提方法的计算复杂度中没有，所以其计算复杂度低于高阶MUSIC。

仿真实验

参考文献

[1] Zhi Zheng, Mingcheng Fu, Wen-Qin Wang,etc. Mixed Far-Field and Near-Field Source Localization Based on Subarray Cross-Cumulant ☆[J]. Signal Processing, 2018.