cogs 1962. [HAOI2015]树上染色

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【题目描述】

有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。问收益最大值是多少。

【输入格式】

第一行两个整数N,K。

接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis，表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。输入保证所有点之间是联通的。

【输出格式】

输出一个正整数，表示收益的最大值。

【输入样例1】

3 1

1 2 1

1 3 2

【输出样例1】

3

【输入样例2】

5 2

1 2 3

1 5 1

2 3 1

2 4 2

【输出样例2】

17

【样例解释】

在第二个样例中，将点1,2染黑就能获得最大收益。

【数据范围】

对于30%的数据，N<=20

对于50%的数据，N<=100

对于100%的数据，N<=2000,0<=K<=N

题解：

　　这是一道树形DP，考虑对于每一条边，它对答案的贡献值=两端的黑点个数乘积*边权+两端白点个数乘积*边权。

　　令f[i][j]表示以i为根的子树中，有j个黑点的最大收益。对于某一个节点x及其某一儿子y，考虑x与y的连边对答案的贡献，我们可以先枚举x中的黑点个数，再枚举y的黑点个数，用类似01背包来转移。

 /**************************************************************
     Problem: 4033
     User: __abcdef__
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:6824 ms
     Memory:32932 kb
 ****************************************************************/
 
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<vector>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const LL inf=1e15,maxn=;
 LL N,K;
 vector<LL> to[maxn],cost[maxn];
 LL fa[maxn],f[maxn][maxn],siz[maxn];
 inline void dfs(LL x,LL fath){
     fa[x]=fath; siz[x]=;
     for(int i=;i<to[x].size();i++){
         LL y=to[x][i];
         if(y!=fath){
             dfs(y,x);
             siz[x]+=siz[y];
         }
     }
 }
 
 inline void calc(LL x){//计算以x为根的情况
     f[x][]=; f[x][]=;
     if(siz[x]==) return ;//叶子节点
     for(int i=;i<to[x].size();i++){//枚举子树
         LL y=to[x][i],val=cost[x][i];
         if(y!=fa[x]){
             calc(y);
             for(int tot=min(K,siz[x]);tot>=;tot--){//枚举以x为根的子树中有几个黑点
                 for(int j=;j<=min(siz[y],K)&&j<=tot;j++){//这个子树中有多少黑点
                     LL ans1=(LL)j*(K-(LL)j)*val;
                     LL ans2=(siz[y]-(LL)j)*(N-K-(siz[y]-(LL)j))*val;
                     LL tmp=f[y][j]+ans1+ans2;
                     f[x][tot]=max(f[x][tot],f[x][tot-j]+tmp);
                 }
             }
         }
     }
 }
 
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&N,&K);
     for(int i=;i<=N-;i++){
         LL u,v,c;
         scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&c);
         to[u].push_back(v); cost[u].push_back(c);
         to[v].push_back(u); cost[v].push_back(c);
     }
     for(int i=;i<=N;i++){
         for(int j=;j<=N;j++){
             f[i][j]=-inf;
         }
     }
     dfs(,-);
     calc();
     printf("%lld\n",f[][K]);
     return ;
 }