单变量微积分笔记20——三角替换1(sin和cos)
sin和cos的常用公式
基本公式:
半角公式:
微分公式:
积分公式:
三角替换
示例1
根据微分公式,cosxdx = dsinx
示例2
示例3
半角公式
示例1
示例2
解法1:
解法2:
综合示例
示例1
示例2
示例3
三角函数和x的倍数都不一样,我们的目标是将x的倍数和三角函数转换为一致。
示例4
y = sin(ax)绕x轴旋转一周,ax的定义域是[0, π],求旋转后图形的体积。
根据圆盘法(圆盘法参见数学笔记17——定积分的应用2(体积)):
解法2:
示例5
如下图所示,已知圆的半径a和线段长度b,求阴影部分的面积。
解法1,使用中学数学的知识,引一条与圆交于C点的辅助线,所求面积就变成了三角形的面积S1与扇形的面积S2之和,如下图所示:
通过圆的公式x2 + y2 = a2,可知C的坐标是。
将上图映射到极坐标,则x = acosθ,y = asinθ,在C点,y = b = asinθ,θ = arcsin(b/a)
解法2,使用定积分直接求解,面积是:
现在的问题变成了如何求解定积分。
如上图所示,与解法1一样引入极坐标,x = acosθ,y = asinθ,将θ写成关于y的函数,θ = arcsin(y/a)
现在已经求得原函数,最后一步是求解定积分。可以将积分上下限替换成θ的表达式,也可将原函数的θ用y表示,这里使用第二种:
看起来积分并不是每次都能使问题简单,虽然得到了一个方便的表达式,但这个表达式求解起来可能很困难。
作者:我是8位的
出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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