Leetcode之回溯法专题-51. N皇后（N-Queens）

Leetcode之回溯法专题-51. N皇后（N-Queens）

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例:

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

分析：输入一个N，求在这个N*N的面板里，N皇后的解法。要求是，放置了一个皇后时，该皇后的 行 列 不能存在其他皇后，且2个对角线上也不能有皇后。
利用回溯法可以解答这一题，首先初始化一个N*N的数组，并在其值上设置成'.'。

char mp[][] = new char[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                mp[i][j] = '.';
            }
        }

然后我们new一个存答案的List，

List<List<String>> ans = new ArrayList<>();

在写DFS之前，我们需要写一个boolean型的ok函数，用于判断一个棋盘是否符合要求：

public boolean ok(char[][] mp, int len, int x, int y) {
        // check row
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (i == y)
                continue;
            if (mp[x][i] == 'Q')
                return false;
        }

        // check col
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (i == x)
                continue;
            if (mp[i][y] == 'Q')
                return false;
        }

        // x=1  y=3
        int cnt = 0;
        int up = 0;
        int down = 0;

        for(int i=y+1;i<len;i++){
            up = (++cnt)*-1+x;
            down = cnt*1+x;

            if(up<len && up>=0){
                //System.out.println("mp[up][i]=["+up+"]["+i+"]");
                if(mp[up][i]=='Q')
                    return false;
            }

            if(down>=0 && down<len){
                //System.out.println("mp[down][i]=["+down+"]["+i+"]");
                if(mp[down][i]=='Q'){
                    return false;
                }
            }
        }

        //System.out.println("other");
        cnt = 0;
        for(int i=y-1;i>=0;i--){
            up = (++cnt)*-1+x;
            down = cnt*1+x;

            if(up<len && up>=0){
                //System.out.println("mp[up][i]=["+up+"]["+i+"]");
                if(mp[up][i]=='Q')
                    return false;
            }

            if(down>=0 && down<len){
                //System.out.println("mp[down][i]=["+down+"]["+i+"]");
                if(mp[down][i]=='Q'){
                    return false;
                }
            }
        }

        return true;
    }

下一步开始写dfs函数，
第一个参数是mp数组，是这一副棋盘，
第二个参数是n，代表的是棋盘的大小，
第三个参数是i，把2维的矩阵转换为1维了，例如i=1就对应着（0，1）这个点，以此类推。
第四个参数是queen，用来存现在放的棋子的个数。

public void dfs(char[][] mp, int len, int i,int queen) {
        int x = i / len;
        int y = i % len;

        if ((x >= len || y >= len)) {
            if(queen!=len) return;
            List<String> list = new ArrayList<>();
            for (int a = 0; a < len; a++) {
                String tmp = "";
                for (int b = 0; b < len; b++) {
                    tmp += mp[a][b];
                }
                    list.add(tmp);
            }
            ans.add(list);
            return;
        }
        dfs(mp,len,i+1,queen);
        if (ok(mp, len, x, y)) {
            mp[x][y] = 'Q';
            dfs(mp, len, i + 1,queen+1);
            mp[x][y] = '.';
        }

    }

整合一下，最后的AC代码为:

class Solution {
    List<List<String>> ans = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {

        char mp[][] = new char[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                mp[i][j] = '.';
            }
        }
        dfs(mp, n, 0,0);

        return ans;
    }

    public void dfs(char[][] mp, int len, int i,int queen) {
        int x = i / len;
        int y = i % len;

        if ((x >= len || y >= len)) {
            if(queen!=len) return;
            List<String> list = new ArrayList<>();
            for (int a = 0; a < len; a++) {
                String tmp = "";
                for (int b = 0; b < len; b++) {
                    tmp += mp[a][b];
                }
                    list.add(tmp);
            }
            ans.add(list);
            return;
        }
        dfs(mp,len,i+1,queen);
        if (ok(mp, len, x, y)) {
            mp[x][y] = 'Q';
            dfs(mp, len, i + 1,queen+1);
            mp[x][y] = '.';
        }

    }

    public boolean ok(char[][] mp, int len, int x, int y) {
        // check row
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (i == y)
                continue;
            if (mp[x][i] == 'Q')
                return false;
        }

        // check col
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (i == x)
                continue;
            if (mp[i][y] == 'Q')
                return false;
        }

        // x=1  y=3
        int cnt = 0;
        int up = 0;
        int down = 0;

        for(int i=y+1;i<len;i++){
            up = (++cnt)*-1+x;
            down = cnt*1+x;

            if(up<len && up>=0){
                //System.out.println("mp[up][i]=["+up+"]["+i+"]");
                if(mp[up][i]=='Q')
                    return false;
            }

            if(down>=0 && down<len){
                //System.out.println("mp[down][i]=["+down+"]["+i+"]");
                if(mp[down][i]=='Q'){
                    return false;
                }
            }
        }

        //System.out.println("other");
        cnt = 0;
        for(int i=y-1;i>=0;i--){
            up = (++cnt)*-1+x;
            down = cnt*1+x;

            if(up<len && up>=0){
                //System.out.println("mp[up][i]=["+up+"]["+i+"]");
                if(mp[up][i]=='Q')
                    return false;
            }

            if(down>=0 && down<len){
                //System.out.println("mp[down][i]=["+down+"]["+i+"]");
                if(mp[down][i]=='Q'){
                    return false;
                }
            }
        }

        return true;
    }

}