[置顶] 1D1D动规优化初步
例题一:
货物运输,大意:
给出N个点的坐标与需要你送过去的钱数(第一个点不需要钱),身上带钱的数目有最大值,由初始在的1点,按顺序经历每个点(中途可以回1点,回去钱就满了),问最小走的路程是多少(最后要回到原点),N<=50000。
观察题目,很容易写出转移方程:f[i]=min{f[j]+dis[j+1]+dis[i]+sum[i]-sum[j]}。
f[i]表示经历过前i个点并且回到原点经历的最小路程,dis[i]表示i点到原点的路程,sum[i]表示前i个点需要的总钱数。
然而这个转移是O(N)的,所以总复杂度就是O(N^2)的,50000的数据明显是不够的。
重新观察方程,可以转化为:f[i]=min{f[j]+dis[j+1]-sum[j]}+dis[i]+sum[i].
即:f[i]=min or max{a[j]}+b[i];
其中dis[i]+sum[i]==b[i]是常量,(f[j]+dis[j+1]-sum[j])==a[j]是变量,我们需要的是最小的a[j],所以用一个单调队列维护它就够了。
例题二:
玩具装箱:
P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过L。但他希望费用最小.
第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
3
4
2
1
4
f[i]=min{f[j]+w[j][i]},经证明后发现这个转移时满足四边形不等式的(具体证法见
http://baike.baidu.com/link?url=PR0x-4hE-M7qSJFKgIRLyO9xHK4EhbiCUTex7ppLRmG0ceilhtA54mnR8wdvP_OoVidg5oAbaxE1YwcsFUAZQK),其实实际我们可以直接打一个决策表,毕竟我们是要写朴素来对拍的。
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