Necklace of Beads(polya计数)
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题解:给出红,绿,蓝3种颜色 的n个珠子,求能够组成多少个不同的项链。 (旋转 和 翻转后 相同的属于同一个项链)
看了好久大神的代码还是不太理解;暂时的理解是,对于每个循环节里的元素都有k中染色方案,所以是k^c(f);
现在只需要找出所有循环节的种数就好了;当然翻转和旋转循环节是不同的,翻转和旋转均有n种;所有种数加完要除以2n
Polya定理:
(1)设G是p个对象的一个置换群,用k种颜色给这p个对象,若一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案,则这两个方案当作是同一种方案,这样的不同染色方案数为
(2)对于N个珠子的项链,共有n种旋转置换和n种翻转置换。
对于旋转置换:每种置换的循环节数c(fi) = gcd(n,i),(i为一次转过多少个珠子)
对于翻转置换:如果n为奇数,共有n种翻转置换,每种置换的循环节数均为c(f) = n/2 + 1; 如果n为偶数,分两种情况 <1> 从空白处穿对称轴,则轴两边各有n/2个对象,得到c(f) = n/2;
<2> 从两个对象上穿对称轴,则轴两边各有n/2-2个对象,得到c(f) = n/2 + 1。
代码:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SI(x) scanf("%d",&x)
#define PI(x) printf("%d",x)
typedef long long LL;
int gcd(int a,int b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
int main(){
int n;
while(~SI(n),n!=-){
LL ans=;
if(!n){
puts("");continue;
}
for(int i=;i<=n;i++)
ans+=pow(,gcd(i,n));
ans+=n*(n&?pow(,n/+):(pow(,n/)/+pow(,n/+)/));
printf("%lld\n",ans/(*n));
}
return ;
}
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