拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）

1 介绍

　　拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）是一种不太常见的降维算法，它看问题的角度和常见的降维算法不太相同，是从局部的角度去构建数据之间的关系。也许这样讲有些抽象，具体来讲，拉普拉斯特征映射是一种基于图的降维算法，它希望相互间有关系的点（在图中相连的点）在降维后的空间中尽可能的靠近，从而在降维后仍能保持原有的数据结构。

2 推导

　　拉普拉斯特征映射通过构建邻接矩阵为 $W$ (邻接矩阵定义见这里) 的图来重构数据流形的局部结构特征。其主要思想是，如果两个数据 实例 $i$ 和 $j$ 很相似，那么 $i$ 和 $j$ 在 降维后目标子空间中应该尽量接近。设数据实例的数目为 $n$ ，目标子空间即最终的降维目标的维度为 $m$ 。 定义 $ n \times m$ 大小的矩阵 $Y$ ，其中每一个行向量 $y_{i}^{T}$ 是数据实例 $i$ 在目标 $m$ 维子空间中的向量表示（即降维后的数据实例 $i$ ）。我们的目的是 让相似的数据样例 $i$ 和 $j$ 在降维后的目标子空间里仍旧尽量接近，故拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:

　　　　$\min \sum\limits _{i, j}\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j}$

　　下面开始推导：

　　　　$ \begin{array}{l} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}&\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(y_{i}^{T} y_{i}-2 y_{i}^{T} y_{j}+y_{j}^{T} y_{j}\right) W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right) y_{i}^{T} y_{i}+\sum\limits_{j=1}^{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} W_{i j}\right) y_{j}^{T} y_{j}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n} D_{i i} y_{i}^{T} y_{i}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)^{T}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} y_{j} W i j\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}(Y W)_{i} \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} W Y\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left[Y^{T}(D-W) Y\right] \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right) \end{array} $

　　其中 $W $ 是图的邻接矩阵，对角矩阵 $D$ 是图的度矩阵 $\left(D_{i i}=\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right)$ ，$ L=D-W$ 成为图的拉普拉斯矩阵。

　　变换后的拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:

　　　　$\begin{array}{l}\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)\\ \text { s.t. } Y^{T} D Y=I \end{array}$

　　其中限制条件  $s . t . Y^{T} D Y=I$ 保证优化问题有解，下面用拉格朗日乘子法对目标函数求解:

　　　　$f(Y)=\operatorname{tr}\left(Y^{T} L Y\right)+\operatorname{tr}\left[\Lambda\left(Y^{T} D Y-I\right)\right]$

　　　　$\begin{array}{l} \frac{\partial f(Y)}{\partial Y}&=L Y+L^{T} Y+D^{T} Y \Lambda^{T}+D Y \Lambda \\ &=2 L Y+2 D Y \Lambda=0 \end{array}$

　　　　$\therefore L Y=-D Y \Lambda$

　　其中用到了矩阵的迹的求导，具体方法见 迹求导。 $\Lambda$ 为一个对角矩阵，另外 $L$ 、 $D$ 均为实对称矩阵，其转置与自身相等。对于单独的 $y$ 向量，上式可写为: $L y=\lambda D y$，这是一个广义特征值问题。通过求得 $m$ 个最小非零特征值所对应的特征向量，即可达到降维的目 的。

　　关于这里为什么要选择 $m$ 个最小非零特征值所对应的特征向量。将 $L Y=-D Y \Lambda $ 带回到 $\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)$ 中，由于有着约束条件 $Y^{T} D Y=I$ 的限制，可以得到 $ \min \quad \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)=\min \quad t r a c e(-\Lambda)$ 。即为特 征值之和。我们为了目标函数最小化，要选择最小的 $m$ 个特征值所对应的特征向量。

3 步骤

　　使用时算法具体步骤为:

　　步骤1：构建图

　　　　使用某一种方法来将所有的点构建成一个图，例如使用KNN算法，将每个点最近的K个点连上边。K是一个预先设定的值。

　　步骤2：确定权重

　　　　确定点与点之间的权重大小，例如选用热核函数来确定，如果点 i 和点 j 相连，那么它们关系的权重设定为：

　　　　$W_{i j}=e^{-\frac{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|^{2}}{t}}$

　　　　另外一种可选的简化设定是 $W_{i j}=1$ 如果点 $i$ ，$ j$ 相连，否则 $W_{i j}=0 $ 。

　　步骤3：特征映射

　　　　计算拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征向量与特征值: $L y=\lambda D y $

　　　　使用最小的 $m$ 个非零特征值对应的特征向量作为降维后的结果输出。