首先对于判重,我们能想到的方法有什么呢?

1)bool数组

2)set(集)

数组与集合的优缺点

1.因为集合是对数组做的封装,所以,数组永远比任何一个集合要快。

2.数组声明了它容纳的元素的类型,而集合不声明。这是由于集合以object形式来存储它们的元素。

3.一个数组实例具有固定的大小,不能伸缩。集合则可根据需要动态改变大小。

4.数组是一种可读/可写数据结构---没有办法创建一个只读数组。

3)map(映射)  

4)hash    

因为数组,set,map的适用范围是比较小的,而且速度很慢,

所以今天我们就来研究一下hash~

哈希算法

回忆八数码问题:判重,给定一个九位数,怎么判断有没有在前面出现过?

考虑一种压缩数组的方法:如果我们想要把数组大小变为 N,那么对于一个数 X,存储在 X%N 的位置里面

这样可以完美解决空间问题。

 哈希算法 - 冲突

但存在一种情况:两个数 X 计算到了同一个位置(X%N = Y%N)

模数的确定:  

    取比元素个数大的质数
 该如何解决?

 第一种解决方式:顺序寻址法。
 一直往后查询位置,直到有空为止。

哈希算法 - 判断

那么如何判断这个数是否在之前已经出现过了呢?

类比插入过程,一直往后查询位置,直到出现两种情况之一。
-1 有空位:那就没出现过
-2 查询到一个相等的数:说明已经出现过了

哈希算法 - 顺序寻址法 - 代码实现

int hash_table[N]; // hash_table 哈希表:0 位置代表没有数
void push1(int x)
{
int y = x % N; // 计算初始位置,N:表的大小
for(; hash_table[y] && hash_table[y]!=x; ) y = (y+) % N;
// 寻找到一个 0 位置,或者找到自己为止
if(hash_table[y]) cout << x << " has␣occured␣before!" << endl;
// 如果是自己本身,则之前已经出现过了
else
{
hash_table[y] = x; // 否则,将 x 加入表中
cout << x << " inserted." << endl;
}
}

哈希算法 - 冲突 - 解决的另一种方式

但存在一种情况:两个数 X 计算到了同一个位置(X%N = Y%N)
 另一种解决方案:把所有数堆到一起(也就是用链表将模数相同的都连起来)

哈希算法 - 链地址法 - 代码实现

// 方法二:链地址法
vector<int> hash_array[N]; // hash_array:每个位置用一个 vector 来维护
void push2(int x)
{
  int y = x % N; // 计算初始位置
  for(int i=; i<hash_array[y].size(); i++)
  if(hash_array[y][i] == x) // 如果之前已经出现过了
  {
    cout << x << " has␣occured␣before!" << endl;
    return; // 标记已经出现过
  }
  // 如果之前没有出现过,将 x 加入表中
  hash_array[y].push_back(x);//vector加入操作
  cout << x << " inserted." << endl;
}

字符串哈希

十进制表示法——需要计算出所有前缀所代表的数字

上图,在S[5]存的是39618,S[4]存的是3961,S[3]存的是396,S[2]存的是96,S[1]存的是6

假如需要计算区间 [l,r]所代表的数字 X,有
    X = S[r] − S[l − 1] × 10 r−l+1

字符串哈希 - 联系

那么问题来了:数字和字符串有什么联系吗?

其实我们可以把一个字符串看作是一个特殊的数字:

对于字符串“ABABC”,我们定义它的哈希值 H 为:H = ”A” ∗ D^4 + ”B” ∗ D^3 + ”A” ∗ D^2 + ”B” ∗ D + ”C”

- 其中 D 为一个规定的数。

D在字符串全为大写或者全为小写时,范围是26~27,当字符串中既有大写又有小写时,取52

那么我们可以把字符串看作是一个D 进制的数。计算方法和数字是类似的,而且对于相同字符串,得到的结果是相同的。

字符串算法 - 代码实现

string s; // s 为字符串
int f[N], g[N]; // f 为前缀和,g[i] 为 D 的 i 次方
void prehash(int n) // 预处理哈希值
{
  // 预处理时,注意到数字可能很大,对一个数 MD 取模
  f[] = ; // f 前缀和预处理
  for(int i=; i<=n; i++) f[i] = (1LL * f[i-] * D + s[i-]) % MD;
  g[] = ; // g:D 次方预处理
  for(int i=; i<=n; i++) g[i] = 1LL * g[i-] * D % MD;
}
int hash(int l, int r) // 计算区间 [l,r] 的哈希值
{
  int a = f[r];
  int b = 1LL * f[l-] * g[r-l+] % MD; // 记得乘上次方
  return (a - b + MD) % MD; // 前缀和相减
// 有可能结果小于 0,加上一个 MD 将其变为正数
}
if(hash(a, b) == hash(c, d)) // 这就说明字符串 [a,b] 与字符串 [c,d] 匹配

字符串算法 - 几点注意事项

哈希算法:数组长度 N 用质数,减少冲突的次数,增加效率

字符串哈希:因为只是用一个小于 MD 的数来代表一个字符串,也是一种哈希;所以有可能会产生冲突(不同的字符串有相同的数),

- 可以通过前面的方法来解决:设哈希表(但速度很慢)。
- 解决方式:用质数来减少冲突的可能性;用几组不同的 D 与 MD

// 哈希算法: N 使用质数
const int N = ;
// 字符串哈希: 多用质数,不容易产生冲突
const int D = ; const int MD = 1e9 + ;
// 用几组不同的 D 与 MD
const int D2 = ; const int MD2 = 1e9 + ;

End.

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