【洛谷】P5348 密码解锁
【洛谷】P5348 密码解锁
很显然我们可以推导出这个式子
设\(a(m)\)为\(m\)位置的值
a(m) = \sum_{m|d}\mu(\frac{d}{m})\mu(d) \\
a(m) = \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{m} \rfloor} \mu(i)\mu(im) \\
a(m) = \mu(m) \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{m} \rfloor} \mu(i)^{2}[gcd(m,i) == 1]
\]
而\(\mu(i)^{2}\)的本质是无平方因子数,这个可以容斥
容斥的方法是(若没有其他限制)
\]
那么这里的就是
\]
前面的互质可以直接枚举
后面的互质可以通过莫比乌斯反演外加预处理M中莫比乌斯值不为0的数算出来
#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define eps 1e-10
#define ba 47
#define MAXN 100005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef unsigned int u32;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
res = 0;T f = 1;char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-') f = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
res = res * 10 +c - '0';
c = getchar();
}
res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
if(x >= 10) {
out(x / 10);
}
putchar('0' + x % 10);
}
int64 N,MAXV;
int M,mu[1000005];
int prime[1000005],tot;
bool nonprime[1000005];
vector<pii > division;
int gcd(int a,int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
}
int Mu(int x) {
if(x <= 1000000) return mu[x];
int res = 1;
for(int i = 2 ; i <= x / i ; ++i) {
if(x % i == 0) {
int c = 0;
while(x % i == 0) {x /= i;++c;}
if(c >= 2) return 0;
res = -res;
}
}
if(x != 1) res = -res;
return res;
}
int64 calc(int64 n) {
int64 res = 0;
for(auto t : division) {
if(n < t.fi) break;
res += 1LL * t.se * (n / t.fi);
}
return res;
}
void Init() {
mu[1] = 1;
for(int i = 2 ; i <= 1000000 ; ++i) {
if(!nonprime[i]) {
prime[++tot] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
if(prime[j] > 1000000 / i) break;
nonprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
void Solve() {
read(N);read(M);
if(Mu(M) == 0) {puts("0");return;}
division.clear();
for(int i = 1 ; i <= M / i ; ++i) {
if(M % i == 0) {
int j = M / i;
int x = Mu(i),y = Mu(j);
if(x) division.pb(mp(i,x));
if(i != j && y) division.pb(mp(j,y));
}
}
sort(division.begin(),division.end());
int64 T = N / M,res = 0;
for(int i = 1 ; i <= T / i ; ++i) {
if(gcd(i,M) == 1) {
res += Mu(i) * calc(T / (i * i));
}
}
res = res * Mu(M);
out(res);enter;
}
int main(){
#ifdef ivorysi
freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
Init();
int T;
read(T);
for(int i = 1 ; i <= T ; ++i) Solve();
}
【洛谷】P5348 密码解锁的更多相关文章
- 洛谷T8116 密码
T8116 密码 题目描述 YJC把核弹发射密码忘掉了……其实是密码被加密了,但是YJC不会解密.密码由n个数字组成,第i个数字被加密成了如下形式:第k小的满足(2^L)|(P-1)且P为质数的P.Y ...
- 洛谷T90444 密码 题解
[问题描述] 假发通过了不懈的努力,得到了将军家门锁的密码(一串小写英文字母).但是假发被十四和猩猩他们盯上了,所以假发需要把密码传递出去.因为假发不想十四他们发现几松门前贴的小纸条就是将军家的密码, ...
- [P5348]密码解锁
Description 给一个长度为 \(n\) 的数组 \(a[1\dots n]\) ,满足 \(\sum_{m|x}a[x] = \mu(m)\),求 \(a[m]\). \(n\le 10^{ ...
- 洛谷 U6850 手机密码
U6850 手机密码 题目背景 小明的手机上设了一个由四个数字组成的密码,但是小明自己的记性不好,但又不想把密码直接记在纸上,于是便想了一个方法. 题目描述 小明有四行数字,每行数字都有n[i](&l ...
- 洛谷 P1703 那个什么密码2
P1703 那个什么密码2 题目背景 https://www.luogu.org/problem/show?pid=1079 题目描述 与原题一模一样.具体不同请见输入格式 输入输出格式 输入格式: ...
- 【Luogu5348】密码解锁(莫比乌斯反演,数论)
[Luogu5348]密码解锁(莫比乌斯反演,数论) 题面 洛谷 题解 首先题目给定的限制是\(\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)\),然后把这个东西反演一下, 莫比乌斯反演的式子是:\(g( ...
- [洛谷日报#204] StackEdit——Markdown 编辑器的功能介绍
本文同时发表于洛谷日报,您也可以通过洛谷博客进行查看. 1.介绍与开始使用 1.1 这是什么? StackEdit是基于PageDown.Stack Overflow和其他堆栈交换站点使用的Markd ...
- USACO Section 1.3 题解 (洛谷OJ P1209 P1444 P3650 P2693)
usaco ch1.4 sort(d , d + c, [](int a, int b) -> bool { return a > b; }); 生成与过滤 generator&& ...
- 洛谷P2922 [USACO008DEC] 秘密消息Secret Message [Trie树]
洛谷传送门,BZOJ传送门 秘密消息Secret Message Description 贝茜正在领导奶牛们逃跑.为了联络,奶牛们互相发送秘密信息. 信息是二进制的,共有M(1≤M≤5 ...
随机推荐
- numpy基础一
常用,常忘 1.随机矩阵 np.random.rand(4,3) array([[ 0.06679473, 0.71073515, 0.5694172 ], [ 0.95018143, 0.60161 ...
- 6.4hadoop idea本地运行器测试
1.1 本地运行器进行本地测试 写一个MapReduce驱动程序,执行job,实现tool接口,所以可以通过hadoop的命令行去设置为本地运行模式.实现tool的run函数,在run函数中创建jo ...
- Kafka - SASL认证
kafka SASL认证配置 1.找到kafka安装根目录,在config文件夹下创建kafka_server_jaas.conf,写入 KafkaServer { org.apache.kafka. ...
- Python语法 - 推导式
推导式分为列表推导式(list),字典推导式(dict),集合推导式(set)三种 列表推导式(list comprehension)最擅长的方式就是对整个列表分别做相同的操作,并且返回得到一个新的列 ...
- 【面试题总结】1、统计字符串中某个单词出现的次数(1-C++实现)
[解决方法一]C++ map解决 一.map中的find函数: 用于查找map中是否包含某个关键字条目,传入的参数是要查找的key,最后返回一个迭代器,如果没有找到,则返回的迭代器等于end()返回的 ...
- nltk data 离线安装
运行程序时发现如下错误: 在命令行下载速度太慢,因此需要离线安装: 按照:http://www.nltk.org/data.html 中manual installation的方法, 将包下载好后解压 ...
- html文字两行后,就用省略号代替剩下的
html文字两行后,就用省略号代替剩下的 一.总结 一句话总结: 实现原理很简单,将box的高度设置为行高的两倍,超出之后隐藏,这样就只有两行了,然后再用after属性绝对定位在第二行后面加几个点 . ...
- 分布式系统的应用程序性能监视工具,专为微服务、云本机架构和基于容器(Docker、K8s、Mesos)架构而设计。 SkyWalking
Apache SkyWalking™ | SkyWalking Teamhttp://skywalking.apache.org/zh/ Application performance monitor ...
- RTM of ML.NET
Announcing ML.NET 1.0
- python基础----条件判断与循环
一.python数据类型 1.整数(包括整数.负数) 2.浮点数(小数) 3.字符串(需要用单引号‘’或双引号“”括起来) 注:当字符串中含有单引号时,用双引号括起来(now="let's ...