二项式反演/minmax容斥初探

世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律是可以被认识的

二项式反演

\[
g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}if_i\Rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i
\]

证明如下

\[
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i
&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\sum_{j=0}^i\binom{i}jf_i\\
&=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\binom{i}j\\
&=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}j\binom{n-j}{i-j}\\
&=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n-j}{i-j}\\
&=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-j-i}\binom{n-j}i\\
&=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j}
\end{aligned}
\]

在默认\(0^0=1\)的情况下，显然

\[
\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j}=f_n\\
f_n=f_n
\]

最值反演

\[
\max(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}\min(T)\\
E(\max S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}E(\min T)\\
\text{lcm}(S)=\prod_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}\gcd(T)\\
\]

其中，\(S,T\not=\varnothing\)。

推导第一类

设系数函数\(f\)满足
\[
\max(S)=\sum_{T\subseteq S} f(|T|)\min(T)
\]

考虑\(S\)中第\(x+1\)大元素作为子集的最小值的情况数，显然
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=0]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=0]=(-1)^x
\]
于是\(f(x)=(-1)^{x-1}\)。

扩展
\[
\text{maxk}(S)=\sum_{T\subseteq S} f(|T|)\min(T)
\]
此时需要满足
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=k-1]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=k-1]=(-1)^{x-k+1}\binom{x}{k-1}
\]
即\(f(x)=(-1)^{x-k}\binom{x-1}{k-1}\)。
\[
\text{maxk}(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)
\]