SMO

序列最小优化算法（英语：Sequential minimal optimization, SMO）是一种用于解决支持向量机训练过程中所产生优化问题的算法。SMO由微软研究院的约翰·普莱特（John Platt）发明于1998年，目前被广泛使用于SVM的训练过程中，并在通行的SVM库libsvm中得到实现。

1998年，SMO算法发表在SVM研究领域内引起了轰动，因为先前可用的SVM训练方法必须使用复杂的方法，并需要昂贵的第三方二次规划工具。而SMO算法较好地避免了这一问题。

前面最后留下来一个对偶函数最后的优化问题，原式为：

-----------------这个是由拉格朗日方法 然后求偏导 列式带入核函数得到的目标函数

       

SMO就是要解这个凸二次规划问题，这里的C是个很重要的参数，它从本质上说是用来折中经验风险和置信风险的，C越大，置信风险越大，经验风险越小；并且所有的因子都被限制在了以C为边长的大盒子里。

算法详述

(1)、 KKT条件

SMO是以C-SVC的KKT条件为基础进行后续操作的，这个KKT条件是：

其中

上述条件其实就是KT互补条件，SVM学习——软间隔优化一文，有如下结论：

从上面式子可以得到的信息是：当时，松弛变量，此时有：，对应样本点就是误分点；当时，松弛变量为零，此时有，对应样本点就是内部点，即分类正确而又远离最大间隔分类超平面的那些样本点；而时，松弛变量为零，有，对应样本点就是支持向量。

(2)、凸优化问题停止条件

对于凸优化问题，在实现时总需要适当的停止条件来结束优化过程，停止条件可以是：

1、监视目标函数的增长率，在它低于某个容忍值时停止训练，这个条件是最直白和简单的，但是效果不好；

2、监视原问题的KKT条件，对于凸优化来说它们是收敛的充要条件，但是由于KKT条件本身是比较苛刻的，所以也需要设定一个容忍值，即所有样本在容忍值范围内满足KKT条件则认为训练可以结束；

3、监视可行间隙，它是原始目标函数值和对偶目标函数值的间隙，对于凸二次优化来说这个间隙是零，以一阶范数软间隔为例：

原始目标函数与对偶目标函数的差为：

定义比率：

，可以利用这个比率达到某个容忍值作为停止条件。

(3)、SMO思想

沿袭分解思想，固定“Chunking工作集”的大小为2，每次迭代只优化两个点的最小子集且可直接获得解析解，算法流程：

(4)、仅含两个Langrange乘子解析解

为了描述方便定义如下符号：

于是目标函数就变成了：

注意第一个约束条件：，可以将看作常数，有(为常数，我们不关心它的值)，等式两边同时乘以，得到（为常数，其值为，我们不关心它，）。将用上式替换则得到一个只含有变量的求极值问题：

这下问题就简单了，对求偏导数得到：

将、带入上式有：

                   

带入、，用，表示误差项(可以想象，即使分类正确，的值也可能很大)、(是原始空间向特征空间的映射)，这里可以看成是一个度量两个样本相似性的距离，换句话说，一旦选择核函数则意味着你已经定义了输入空间中元素的相似性。

最后得到迭代式：

注意第二个约束条件——那个强大的盒子：，这意味着也必须落入这个盒子中，综合考虑两个约束条件，下图更直观：

和异号的情形

和同号的情形

可以看到两个乘子既要位于边长为C的盒子里又要在相应直线上，于是对于的界来说，有如下情况：

 

整理得下式：

又因为，，消去后得到：

(5).综上可总结出SMO的算法框架

SMO算法是一个迭代优化算法。在每一个迭代步骤中，算法首先选取两个待更新的向量，此后分别计算它们的误差项，并根据上述结果计算出和。最后再根据SVM的定义计算出偏移量。对于误差项而言，可以根据、和b的增量进行调整，而无需每次重新计算。具体的算法如下：

1. 随机数初始化向量权重，并计算偏移b。(这一步初始化向量权重只要使符合上述的约束条件即可，原博文的程序就是range函数)

2.初始化误差项，其中

3.选取两个向量作为需要调整的点（例如第一次下标为1，2两点，第二次下标3，4...........），然后

令其中(是原始空间向特征空间的映射)，

4.if  >H   令=H  
if  <L  令=L （L，H前面已给出）

5.令

6.利用更新的和修改和b的值

7.如果达到终止条件，则算法停止，否则转向3

算法补充说明：

 优化向量选择方法

可以采用启发式的方法选择每次迭代中需要优化的向量。第一个向量可以选取不满足支持向量机KKT条件的向量，亦即不满足

即：

  

               其中

的向量。而第二个向量可以选择使得最大的向量。

终止条件

SMO算法的终止条件可以为KKT条件对所有向量均满足，或者目标函数增长率小于某个阈值，即

（根据前面的凸优化问题停止条件所说，此效果可能不佳，可选择其他方法,见(2))

 

---------------------------------以下内容是有关可行间隙方法，乘子优化，SMO加速问题，是深化的内容------------------------------------------------

(6)、启发式的选择方法

根据选择的停止条件可以确定怎么样选择点能对算法收敛贡献最大，例如使用监视可行间隙的方法，一个最直白的选择就是首先优化那些最违反KKT条件的点，所谓违反KKT条件是指：

其中KKT条件

由前面的停止条件3可知，对可行间隙贡献最大的点是那些

其中，

取值大的点，这些点导致可行间隙变大，因此应该首先优化它们(原因见原博文：http://www.cnblogs.com/vivounicorn/archive/2011/06/01/2067496.html)

SMO的启发式选择有两个策略：

启发式选择1：

最外层循环，首先，在所有样本中选择违反KKT条件的一个乘子作为最外层循环，用“启发式选择2”选择另外一个乘子并进行这两个乘子的优化，接着，从所有非边界样本中选择违反KKT条件的一个乘子作为最外层循环，用“启发式选择2”选择另外一个乘子并进行这两个乘子的优化(之所以选择非边界样本是为了提高找到违反KKT条件的点的机会)，最后，如果上述非边界样本中没有违反KKT条件的样本，则再从整个样本中去找，直到所有样本中没有需要改变的乘子或者满足其它停止条件为止。

启发式选择2：

内层循环的选择标准可以从下式看出：

要加快第二个乘子的迭代速度，就要使最大，而在上没什么文章可做，于是只能使最大。

确定第二个乘子方法：

1、首先在非界乘子中寻找使得最大的样本；

2、如果1中没找到则从随机位置查找非界乘子样本；

3、如果2中也没找到，则从随机位置查找整个样本(包含界上和非界乘子)。

(7)、关于两乘子优化的说明

由式子

可知：

于是对于这个单变量二次函数而言,如果其二阶导数，则二次函数开口向下，可以用上述迭代的方法更新乘子，如果，则目标函数只能在边界上取得极值(此时二次函数开口向上)，换句话说，SMO要能处理取任何值的情况，于是在时有以下式子：

1、时：

2、时：

3、                  

分别将乘子带入得到两种情况下的目标函数值： 和。显然，哪种情况下目标函数值最大，则乘子就往哪儿移动，如果目标函数的差在某个指定精度范围内，说明优化没有进展。

另外发现，每一步迭代都需要计算输出进而得到，于是还要更新阈值，使得新的乘子、满足KKT条件，考虑、至少有一个在界内，则需要满足，于是的迭代可以这样得到：

1、设在界内，则：

又因为：

于是有：

等式两边同乘后移项得：

；

2、设在界内，则：

；

3、设、都在界内，则：情况1和情况2的值相等，任取一个；

4、设、都不在界内，则：取值为情况1和情况2之间的任意值。

(8)、提高SMO的速度

从实现上来说，对于标准的SMO能提高速度的地方有：

1、能用缓存的地方尽量用，例如，缓存核矩阵，减少重复计算，但是增加了空间复杂度；

2、如果SVM的核为线性核时候，可直接更新，毕竟每次计算的代价较高，于是可以利用旧的乘子信息来更新，具体如下：

，应用到这个性质的例子可以参见SVM学习——Coordinate
Desent Method。

3、关注可以并行的点，用并行方法来改进，例如可以使用MPI，将样本分为若干份，在查找最大的乘子时可以现在各个节点先找到局部最大点，然后再从中找到全局最大点；又如停止条件是监视对偶间隙，那么可以考虑在每个节点上计算出局部可行间隙，最后在master节点上将局部可行间隙累加得到全局可行间隙。