[SDOI 2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解

求 $$\sum_{i = 1}^N gcd(i, N)$$

用惯用的套路我们枚举 $N$ 的因子  $$\sum_{d \mid N} d \cdot \sum_{i = 1}^{ \frac{N}{d} } \left[gcd \left( \frac{N}{d} , i \right) = 1\right]$$

化简为 $$\sum_{d \mid N} d \cdot \varphi \left( \frac{N}{d} \right)$$

欧拉函数直接用 $\varphi(n) = n \cdot \prod_{i = 1}^k \left(1-\frac{1}{p_i} \right)$ 来求。

 //It is made by Awson on 2018.1.12
 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
 using namespace std;
 void read(LL &x) {
     char ch; bool flag = ;
     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || ); ch = getchar());
     for (x = ; isdigit(ch); x = (x<<)+(x<<)+ch-, ch = getchar());
     x *= -*flag;
 }
 void write(LL x) {
     if (x > ) write(x/);
     putchar(x%+);
 }

 LL n, m, ans;

 LL phi(LL x) {
     LL ans = x;
     for (LL i = ; i <= m; i++) {
     if (x%i) continue;
     ans = ans*(i-)/i;
     while (!(x%i)) x /= i;
     }
     if (x > ) ans = ans*(x-)/x;
     return ans;
 }
 void work() {
     read(n); m = sqrt(n);
     for (LL i = ; i <= m; i++) {
     if (n%i) continue;
     ans += i*phi(n/i);
     if (i*i < n) ans += n/i*phi(i);
     }
     write(ans);
 }
 int main() {
     work();
     return ;
 }