[bzoj1004][HNOI2008][Cards] (置换群+Burnside引理+动态规划)
Description
小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有
多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方
案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.
两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗
成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).
Input
第一行输入 5 个整数:Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。
接下来 m 行,每行描述一种洗牌法,每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn,恰为 1 到 n 的一个排列,
表示使用这种洗牌法,第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代
替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态。
Output
不同染法除以P的余数
Sample Input
Sample Output
HINT
有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG,使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR,使用洗牌法312 一次 可得BRG
和GRB。
100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。
Solution
标准的置换群问题
有个神犇说过,置换群不是burnside就是polya
由于求解的是本质不同的染色方案,就可以判断是burnside引理的应用
burnside引理:
#include<stdio.h>
#include<memory.h>
inline int Rin(){
int x=,c=getchar(),f=;
for(;c<||c>;c=getchar())
if(!(c^))f=-;
for(;c>&&c<;c=getchar())
x=(x<<)+(x<<)+c-;
return x*f;
}
bool b[];
int s[],n,m,md,fur[][],d[],f[][][],ans;
int dp(int x){
memset(b,,sizeof(b));
int top=,v;
for(int i=;i<=n;i++)
if(!b[i]){
b[i]=;
d[++top]=;
v=i;
while(!b[fur[x][v]])
b[fur[x][v]]=,
d[top]++,
v=fur[x][v];
}
memset(f,,sizeof(f));
f[][][]=;
for(int k=;k<=top;k++)
for(int dx=s[];dx>=;dx--)
for(int dy=s[];dy>=;dy--)
for(int dz=s[];dz>=;dz--)
(dx>=d[k]?(f[dx][dy][dz]=(f[dx][dy][dz]+f[dx-d[k]][dy][dz])%md):),
(dy>=d[k]?(f[dx][dy][dz]=(f[dx][dy][dz]+f[dx][dy-d[k]][dz])%md):),
(dz>=d[k]?(f[dx][dy][dz]=(f[dx][dy][dz]+f[dx][dy][dz-d[k]])%md):);
return f[s[]][s[]][s[]];
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
int main(){
for(int i=;i<=;i++)
s[i]=Rin(),
n+=s[i];
m=Rin(),md=Rin();
for(int i=;i<=m;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
fur[i][j]=Rin();
m++;
for(int i=;i<=n;i++)
fur[m][i]=i;
for(int i=;i<=m;i++)
ans=(ans+dp(i))%md;
int x,y;
exgcd(m,md,x,y);
while(x<=)x+=md,y-=m;
printf("%d\n",ans*x%md);
return ;
}
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