题目描述

暑假期间,小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄,训练的第一个晚上,教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重,必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺(N为正整数)的大树上,正当他发愁怎么爬上去的时候,发现旁边堆满了一些空心四方钢材(如图1.1),经过观察和测量,这些钢材截面的宽和高大小不一,但都是1尺的整数倍,教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋,该阶梯每一步台阶的高度为1尺,宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸,且每种尺寸数量充足,那么小龙可以有多少种搭建方法?(注:为了避免夜里踏空,钢材空心的一面绝对不可以向上。)

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例,小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法:

输入

一个正整数 N(1≤N≤500),表示阶梯的高度

输出

一个正整数,表示搭建方法的个数。(注:搭建方法个数可能很大。)

样例输入

3

样例输出

5

提示

1  ≤N≤500

设f[i]表示n=i时的答案,考虑这样一种构造方法:

在n阶阶梯的左上角放一个i阶阶梯,右下角放一个n-i-1阶阶梯,剩下的部分用一个大矩形补上,这样恰好用了n个矩形

那么f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+……+f[n-2]*f[1]+f[n-1]*f[0]

这个就是卡特兰数的递推式!

因为没有模数,所以要高精度。

将卡特兰数用组合数的通项公式表示,枚举每个质因子在分子和分母分别出现几次,用分子的减去分母的,剩下的就是一个高精乘低精。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct miku
{
int len;
int a[10010];
};
int n;
miku multiply(miku x,int y)
{
miku z;
for(int i=1;i<=x.len;i++)
{
z.a[i]=x.a[i]*y;
}
for(int i=2;i<=x.len;i++)
{
z.a[i]+=z.a[i-1]/10;
z.a[i-1]%=10;
}
z.len=x.len;
while(z.a[z.len]>10)
{
z.len++;
z.a[z.len]+=z.a[z.len-1]/10;
z.a[z.len-1]%=10;
}
return z;
}
miku divide(miku x,int y)
{
miku z;
int res=0;
for(int i=x.len;i>=1;i--)
{
res=res*10+x.a[i];
z.a[i]=res/y;
res%=y;
}
z.len=x.len;
while(z.a[z.len]==0)
{
z.len--;
}
return z;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
miku ans;
ans.len=1;
ans.a[1]=1;
for(int i=n+2;i<=2*n;i++)
{
ans=multiply(ans,i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=divide(ans,i);
}
for(int i=ans.len;i>=1;i--)
{
printf("%d",ans.a[i]);
}
}

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