POJ3696 The Luckiest Number 欧拉定理
昨天终于把欧拉定理的证明看明白了。。。于是兴冲冲地写了2道题,发现自己啥都不会qwq
题意:给定一个正整数L<=2E+9,求至少多少个8连在一起组成正整数是L的倍数。
这很有意思么。。。
首先,连续的8可表示为:8*(10^x-1)/9;
那么就是L|8*(10^x-1)/9 => 9*L|8*(10^x-1) ,求最小的x;
我们设d=gcd(L,8)
则9*L/d | 8/d*(10^x-1),因为此时9*L/d 和 8/d 互质,所以9*L/d | 10^x-1,所以 10^x ≡ 1 (mod 9*L/d);
然后要证明一个结论:a^x ≡ 1 (mod n)的最小正整数解x0能整除φ(n)
证明:
反证:设不能整除,则设φ(n)=q*x0+r;(1<=r<x0)
因为a^x0 ≡ 1 (mod n),所以a^(q*x0) ≡ 1(mod n)
又因为a^φ(n) ≡ 1 (mod n),所以a^r ≡ 1 (mod n)
因为r<x0,所以假设不成立;
证毕。
所以我们枚举每个φ(9*L/d) 的约数,用快速幂判断就好了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define R register ll
using namespace std;
inline ll g() {
R ret=,fix=; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-:fix;
do ret=ret*+(ch^); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
}
ll a[],n,ans;
inline ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll phi(ll n) {
R m=n; for(R i=;i*i<=n;++i) if(n%i==) {
m=m/i*(i-);
while(n%i==) n/=i;
} if(n>) m=m/n*(n-); return m;
}
inline ll mul(ll a,ll b) {
a%=n,b%=n; R c=(long double)a*b/n;
R ans=a*b-c*n; if(ans<) ans+=n;
if(ans>=n) ans-=n; return ans;
}
inline ll qpow(ll a,ll p) { R ret=;
for(;p;p>>=,a=mul(a,a)) if(p&) ret=mul(ret,a); return ret;
}
signed main() { R t=;
while(n=g(),n!=) { //cout<<n<<endl;
n=*n/gcd(,n);
printf("Case %d: ",++t);
if(gcd(,n)==) {
R p=phi(n),cnt=; //cout<<"PHI: "<<p<<endl;
for(R i=;i*i<=p;++i) if(p%i==) {
a[++cnt]=i;
if(i*i!=p) a[++cnt]=p/i;
} sort(a+,a+cnt+); R i;
for(i=;i<=cnt;++i) if(qpow(,a[i])==) break;
printf("%lld\n",a[i]);
} else printf("0\n");
}
}
2019.05.11
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