P4172 [WC2006]水管局长 LCT维护最小生成树

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

SC 省 MY 市有着庞大的地下水管网络，嘟嘟是 MY 市的水管局长（就是管水管的啦），嘟嘟作为水管局长的工作就是：每天供水公司可能要将一定量的水从 xx 处送往 yy 处，嘟嘟需要为供水公司找到一条从 AA 至 BB 的水管的路径，接着通过信息化的控制中心通知路径上的水管进入准备送水状态，等到路径上每一条水管都准备好了，供水公司就可以开始送水了。嘟嘟一次只能处理一项送水任务，等到当前的送水任务完成了，才能处理下一项。

在处理每项送水任务之前，路径上的水管都要进行一系列的准备操作，如清洗、消毒等等。嘟嘟在控制中心一声令下，这些水管的准备操作同时开始，但由于各条管道的长度、内径不同，进行准备操作需要的时间可能不同。供水公司总是希望嘟嘟能找到这样一条送水路径，路径上的所有管道全都准备就绪所需要的时间尽量短。嘟嘟希望你能帮助他完成这样的一个选择路径的系统，以满足供水公司的要求。另外，由于 MY 市的水管年代久远，一些水管会不时出现故障导致不能使用，你的程序必须考虑到这一点。

不妨将 MY 市的水管网络看作一幅简单无向图（即没有自环或重边）：水管是图中的边，水管的连接处为图中的结点。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

输入文件第一行为 \(3\) 个整数：\(N\), \(M\), \(Q\) 分别表示管道连接处（结点）的数目、目前水管（无向边）的数目，以及你的程序需要处理的任务数目（包括寻找一条满足要求的路径和接受某条水管坏掉的事实）。

以下 \(M\) 行，每行 \(3\) 个整数 \(x\), \(y\) 和 \(t\)t，描述一条对应的水管。\(x\) 和 \(y\) 表示水管两端结点的编号，\(t\) 表示准备送水所需要的时间。我们不妨为结点从 \(1\) 至 \(N\) 编号，这样所有的 \(x\) 和 \(y\) 都在范围\([1, N]\)内。

以下 \(Q\) 行，每行描述一项任务。其中第一个整数为 \(k\)：

若 \(k = 1\) 则后跟两个整数 \(A\) 和 \(B\)，表示你需要为供水公司寻找一条满足要求的从 \(A\) 到 \(B\) 的水管路径；

若 \(k = 2\)，则后跟两个整数 \(x\) 和 \(y\)，表示直接连接 \(x\) 和 \(y\) 的水管宣布报废（保证合法，即在此之前直接连接 \(x\)和 \(y\) 尚未报废的水管一定存在）。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

按顺序对应输入文件中每一项 \(k = 1\) 的任务，你需要输出一个数字和一个回车/换行符。该数字表示：你寻找到的水管路径中所有管道全都完成准备工作所需要的时间（当然要求最短）。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

2

3

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

○\(N \leq 1000\)

○\(M \leq 100000\)

○\(Q \leq 100000\)

测试数据中宣布报废的水管不超过 \(5000\) 条；且任何时候我们考虑的水管网络都是连通的，即从任一结点 \(A\) 必有至少一条水管路径通往任一结点 \(B\)。

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

正难则反，考虑倒着来，这样删边就成了加边

我们只需维护最小生成树即可

每次加边，找到链上最长边，跟当前比一下，这个可以暴力找，然后判断是否断掉

显然可以用LCT维护

但是发现这是边权，要弄到点上

如果移到点上，一 splay就乱了，那怎么办呢

假设我们有\(x----y\)，我们考虑开一个新节点o，点权为这条边的边权，然后\(x--o--y\)这样连

这样怎么弄边权都不会有影响，就好维护了

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int maxn = 2e6 + 10;

struct node {

	node *ch[2], *fa;

	int val, max, rev;

	node(int val = 0, int max = 0, int rev = 0): val(val), max(max), rev(rev) {}

	bool ntr() { return fa && (fa->ch[1] == this || fa->ch[0] == this); }

	bool isr() { return fa->ch[1] == this; }

	void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }

	void upd() {

		max = val;

		if(ch[0]) max = std::max(max, ch[0]->max);

		if(ch[1]) max = std::max(max, ch[1]->max);

	}

	void dwn() {

		if(!rev) return;

		if(ch[0]) ch[0]->trn();

		if(ch[1]) ch[1]->trn();

		rev = 0;

	}

	void clr() {

		if(ch[0]) ch[0]->fa = NULL;

		if(ch[1]) ch[1]->fa = NULL;

		ch[0] = ch[1] = NULL;

	}

};

node pool[maxn];

struct E {

	int from, to, dis;

	E(int from = 0, int to = 0, int dis = 0): from(from), to(to), dis(dis) {}

	friend bool operator < (const E &a, const E &b) {

		return a.from == b.from? a.to < b.to : a.from < b.from;

	}

}e[maxn], q[maxn];

std::map<E, int> mp;

std::set<E> v;

int n, m, Q, ans[maxn];

void rot(node *x) {

	node *y = x->fa, *z = y->fa;

	int k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];

	if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;

	x->ch[!k] = y, y->ch[k] = w;

	y->fa = x, x->fa = z;

	if(w) w->fa = y;

	y->upd(), x->upd();

}

void splay(node *o) {

	static node *st[maxn];

	int top;

	st[top = 1] = o;

	while(st[top]->ntr()) st[top + 1] = st[top]->fa, top++;

	while(top) st[top--]->dwn();

	while(o->ntr()) {

		if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);

		rot(o);

	}

}

void access(node *x) {

	for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa)

		splay(x), x->ch[1] = y, x->upd();

}

void makeroot(node *x) { access(x), splay(x), x->trn(); }

node *findroot(node *x) {

	access(x), splay(x);

	while(x->dwn(), x->ch[0]) x = x->ch[0];

	return splay(x), x;

}

node *findmax(node *o) {

	while(o->dwn(), o->val != o->max) {

		if(o->ch[0] && o->ch[0]->max == o->max) o = o->ch[0];

		else o = o->ch[1];

	}

	return o;

}

void link(node *x, node *y) { makeroot(x), x->fa = y; }

void add(int id) {

	node *o = pool + n + id, *from = pool + e[id].from, *to = pool + e[id].to;

	if(findroot(from) == findroot(to)) {

		makeroot(from), access(to), splay(to);

		if(to->max <= o->val) return;

		node *pos = findmax(to);

		splay(pos), pos->clr(), pos->upd();

	}

	link(from, o), link(o, to);

}

int query(int x, int y) {

	node *from = pool + x, *to = pool + y;

	makeroot(from), access(to), splay(to);

	return to->max;

}

int main() {

	n = in(), m = in(), Q = in();

	for(int i = 1; i <= m; i++) {

		e[i].from = in(), e[i].to = in(), e[i].dis = in();

		if(e[i].from > e[i].to) std::swap(e[i].from, e[i].to);

		mp[e[i]] = i;

		pool[n + i].val = e[i].dis, pool[n + 1].upd();

	}

	for(int i = 1; i <= Q; i++) {

		q[i].dis = in(), q[i].from = in(), q[i].to = in();

		if(q[i].from > q[i].to) std::swap(q[i].from, q[i].to);

		if(q[i].dis == 2) v.insert(E(q[i].from, q[i].to, 233));

	}

	for(int i = 1; i <= m; i++) if(!v.count(e[i])) add(i);

	int num = 0;

	for(int i = Q; i >= 1; i--) {

		if(q[i].dis == 1) ans[++num] = query(q[i].from, q[i].to);

		else add(mp[E(q[i].from, q[i].to)]);

	}

	for(int i = num; i >= 1; i--) printf("%d\n", ans[i]);

	return 0;

}