CF1110E Magic Stones(构造题)
这场CF怎么这么多构造题……
题目大意:给定两个长度为 $n$ 的序列 $c$ 和 $t$。每次我们可以对 $c_i(2\le i<n)$ 进行一次操作,也就是把 $c_i$ 变成 $c_i'=c_{i-1}+c_{i+1}-c_i$。问 $c$ 能否在若干次操作后变成 $t$。
$1\le n\le 10^5,1\le c_i,t_i\le 2\times 10^9$。
很容易考虑差分。我们设 $d_i=c_i-c_{i-1},s_i=t_i-t_{i-1}(2\le i\le n)$。
那么对 $c_i$ 进行一次操作后,
$d_i$ 会变成 $d_i'=c_i'-c_{i-1}=c_{i-1}+c_{i+1}-c_i-c_{i+1}=c_{i+1}-c_i=d_{i+1}$,
$d_{i+1}$ 会变成 $d_{i+1}'=c_{i+1}-c_i'=c_{i+1}-(c_{i-1}+c_{i+1}-c_i)=c_i-c_{i-1}=d_i$。
实际上就是把 $d_i$ 和 $d_{i+1}$ 换了个位置。
很明显,仅仅通过交换相邻元素,就可以把原序列变成任意一种原元素的排列。
而两个序列完全相同,当且仅当它们的第一个元素相同且差分序列完全相同。
所以只需判断 $c_1=t_1$ 且 $d$ 和 $s$ 能通过重排变得完全一样即可。
后半部分如何判断?排个序后看看是否完全一样即可。
时间复杂度 $O(n\log n)$。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
char ch=getchar();int x=,f=;
while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,c[maxn],t[maxn],d1[maxn],d2[maxn];
int main(){
n=read();
FOR(i,,n) c[i]=read();
FOR(i,,n) t[i]=read();
if(c[]!=t[]) return puts("No"),; //先判首项相等
bool flag=true;
FOR(i,,n) d1[i]=c[i]-c[i-],d2[i]=t[i]-t[i-]; //两个差分序列
sort(d1+,d1+n+);sort(d2+,d2+n+); //排序
FOR(i,,n) if(d1[i]!=d2[i]){flag=false;break;} //比较
puts(flag?"Yes":"No");
}
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