Swap HDU - 2819 (有关矩阵的二分匹配)
题意见大佬:https://www.cnblogs.com/gj-Acit/archive/2013/08/17/3265502.html
题目大意很明确,交换图的某些行或者是某些列(可以都换),使得这个N*N的图对角线上全部都是1.
这里有一点需要说明,就是说题目的交换,其实是将原来图的某一行移到最后图的某一行,而不是指先交换两行,得到一个新图,再交换新图的两行。感觉这里比较坑。
这里先说明的一点就是,如果通过交换某些行没有办法的到解的话,那么只交换列 或者 既交换行又交换列 那也没办法得到解。其实个人感觉这个可以用矩阵的秩来解释,所有的对角线都是1,所以也就是矩阵的秩就是N,所以秩小于N就无解。另外,根据矩阵的性质,任意交换矩阵的两行 或者 两列,矩阵的秩不变,也就保证了如果通过 只交换行 或 只交换列 无法得到解的话,那么其他交换形式也必然无解。
既然说是用二分图的最大匹配,那怎么构建二分图呢,我们构建的二分图,第一部分X表示的是横坐标,第二部分Y表示纵坐标,所以范围都是1~N,然后如果a[i][j]是1,那我们就从X的i向Y的j引一条边,那么这条边的含义就可以解释为可以将Y的第j列(因为Y表示的是列的集合)移到第i列,使得a[i][i]变成1,这样就相当于是第i行第i列就变成了1,也就是说对角线多了一个1。
因此我们求这个二分图的最大匹配(目的是为了让每一列只与X中的某一行匹配),这样来就形成了N条边,那我们只需要将所有匹配的边的右边(列) 和 左边(行)所在的列 交换,这样一来对角线上这一行就成了1.
上面也也正好提示了如果最大匹配是N,那就存在解,否则无解。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn = , INF = 0x7fffffff;
int line[maxn][maxn], girl[maxn], used[maxn], X[maxn], Y[maxn];
int nx, ny, n, ans;
bool find(int x)
{
for(int j=; j<=ny; j++)
{
if(line[x][j] == && used[j] == )
{
used[j] = ;
if(girl[j] == || find(girl[j]))
{
girl[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
} int main()
{
while(cin>> n)
{
int ret = ;
ans = ;
mem(line, );
for(int i=; i<=n; i++)
for(int j=; j<=n; j++)
{
int c;
cin>> c;
if(c == )
line[i][j] = ;
}
nx = ny = n;
mem(girl, );
for(int i=; i<=nx; i++)
{
mem(used, );
if(find(i))
ret++;
}
if(ret != n)
{
cout<< "-1" <<endl;
continue;
}
//匹配时j与girl[j]是一步到位 而答案要求每一步的步骤
//先遍历每一列 如果i == girl[i] 说明没有移动就到位 continue
// 否则 在后边的几列中寻找需要移到此列的那一列。。 因为本列的元素也需要移到别的列 所以交换girl[] for(int i=; i<=ny; i++)
{
if(i == girl[i]) continue;
for(int j=i+; j<=ny; j++)
{
if(i == girl[j])
{
X[++ans] = i;
Y[ans] = j;
swap(girl[i], girl[j]);
break;
}
}
}
cout<< ans <<endl;
for(int i=; i<=ans; i++)
{
printf("C %d %d\n",X[i], Y[i]); }
} return ;
}
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