Acwing 393. 雇佣收银员

算法1： 差分约束 + 枚举 O(Tn2028)

由于牵扯到 \([i - 8 + 1, i]\) 这段区间的和的约束，所以用前缀和更好表达一些。

设 \(num[i]\)表示 \(i\) 时刻有多少人申请上岗， \(x[i]\) 为 \(i\) 时刻实际上岗的人数 ，\(s\) 为 \(x\) 的前缀和数组。

---

则应该满足的约束条件是：

1. 上岗人数不能负数，即 \(s[i] - s[i - 1] >= 0\)

2. 实际上岗人数不能超过申请人数，即 \(s[i] - s[i - 1] <= num[i]\)

3. \(i\) 时刻所在人数，即 \([i - 7, i]\) 区间内的上岗人数要大于等于最小需求 \(R\)

   由于存在环，即 \(23\) 到 \(24\)，再到 \(0\) 时刻，所以要分类讨论：

   • 当 \(i >= 8\) 时，\(s[i] - s[i - 8] >= R[i]\)
   • 当 \(i <= 7\) 时，\(s[i] + s[24] - s[24 - i] >= R[i]\)

---

显然这是一个明显的差分约束问题，由于求最小人数，所以用最长路转化：

1. \(s[i] >= s[i - 1]\) 即 \(add(i - 1, i, 0)\)
2. \(s[i] - num[i] <= s[i - 1]\) 即 \(add(i, i - 1, -num[i])\)
3. \(s[i - 8] + R[i] <= s[i]\) 即 \(add(i - 8, i, R[i])\)
4. \(s[16 + i] + R[i] - s[24] <= s[i]\)，不会连边了hhhh

最后一种约束关系我们不会连边的原因无非是出现了三个变量，但我们可以发现：

• 所有最后一种约束关系都有 \(s[24]\) 变量，其实这个东西就是我们求的答案，所以我们可以枚举 \(s[24]\) 的值，把它变成常量就行啦！然后就可以 \(add(16 + i, i, R[i] - s[24])\)

\(Tips：\)

1. 关于建图，其实可以在线建图，不用僵化建边了嘿嘿。

2. 发现 \(0\) 肯定所有点，所以不用创造超级源点了，只需从 \(0\) 点出发跑最短路即可。

3. 不要忘了 $s[24] = $ 我们枚举的数 \(c\)（要严格等于，实现是 大于等于 + 小于等于）：

   • \(s[24] <= c\) 即 \(add(24, 0, -c)\)
   • \(s[24] >= c\) 即 \(add(0, 24, c)\)

时间复杂度

这个题中的点数 $ <= 26$，边数 $ <= 26 * 3 = 78$，

所以时间复杂度 \(O(Tn2028)\)，足以 \(AC\)

\(5ms\) 可还行

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, ans, cnt[N], dis[N], R[N], num[N];
int tt, q[N];
bool st[N];
/*
最长路
0 <= Si - S(i - 1)
*/
//把边 (u, v, w) 松弛
bool inline upd(int u, int v, int w) {
    if(dis[u] + w > dis[v]) {
        dis[v] = dis[u] + w;
        cnt[v] = cnt[u] + 1;
        if(cnt[v] >= 25) return false;
        if(!st[v]) q[++tt] = v, st[v] = true;
    }
    return true;
}
// 返回是否存在可行解
bool spfa() {
    memset(dis, -0x3f, sizeof dis);
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    // 数组模拟栈 更容易找到环
    tt = 0;
    q[++tt] = 0; dis[0] = 0;
    while(tt) {
        int u = q[tt--];
        st[u] = false;
        // 严格保证 s[24] = ans
        if(u == 0 && !upd(0, 24, ans)) return false;
        if(u == 24 && !upd(24, 0, -ans)) return false;
        // s[i] - s[i - 1] >= 0
        if(u < 24 && !upd(u, u + 1, 0)) return false;
        // s[i] - s[i - 1] <= num[i]
        if(u > 0 && !upd(u, u - 1, -num[u])) return false;
        //s[i] - s[i - 8] >= R[i]
        if(u <= 16 && !upd(u, u + 8, R[u + 8])) return false;
        // s[i] + s[24] - s[24 - i] >= R[i]
        if(u >= 17 && !upd(u, u - 16, R[u - 16] - ans)) return false;
    }
    return true;
}
int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        memset(num, 0, sizeof num);
        for (int i = 1; i < N; i++) scanf("%d", R + i);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1, x; i <= n; i++)
            scanf("%d", &x), x++, num[x]++;
        bool ok = false;
        // 枚举 s24, s24 就是 答案
        for (ans = 0; ans <= n; ans++) {
            if(spfa()) {
                printf("%d\n", ans);
                ok = true;
                break;
            }
        }
        if(!ok) puts("No Solution");
    }
    return 0;
}

算法2： 差分约束 + 二分 O(T2028logN)

显然，答案具有单调性（若允许上岗的人越多，越容易满足条件）。

所以可以二分答案 \(LOL\)。

\(3ms\) 可还行

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, cnt[N], dis[N], R[N], num[N];
int tt, q[N];
bool st[N];
/*
最长路
0 <= Si - S(i - 1)
*/
//把边 (u, v, w) 松弛
bool inline upd(int u, int v, int w) {
    if(dis[u] + w > dis[v]) {
        dis[v] = dis[u] + w;
        cnt[v] = cnt[u] + 1;
        if(cnt[v] >= 25) return false;
        if(!st[v]) q[++tt] = v, st[v] = true;
    }
    return true;
}
// 返回是否存在可行解
bool spfa(int s24) {
    memset(dis, -0x3f, sizeof dis);
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    // 数组模拟栈 更容易找到环
    tt = 0;
    q[++tt] = 0; dis[0] = 0;
    while(tt) {
        int u = q[tt--];
        st[u] = false;
        // 严格保证 s[24] = s24
        if(u == 0 && !upd(0, 24, s24)) return false;
        if(u == 24 && !upd(24, 0, -s24)) return false;
        // s[i] - s[i - 1] >= 0
        if(u < 24 && !upd(u, u + 1, 0)) return false;
        // s[i] - s[i - 1] <= num[i]
        if(u > 0 && !upd(u, u - 1, -num[u])) return false;
        //s[i] - s[i - 8] >= R[i]
        if(u <= 16 && !upd(u, u + 8, R[u + 8])) return false;
        // s[i] + s[24] - s[24 - i] >= R[i]
        if(u >= 17 && !upd(u, u - 16, R[u - 16] - s24)) return false;
    }
    return true;
}
int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        memset(num, 0, sizeof num);
        for (int i = 1; i < N; i++) scanf("%d", R + i);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1, x; i <= n; i++)
            scanf("%d", &x), x++, num[x]++;
        int l = 0, r = n;
        while(l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if(spfa(mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(spfa(r)) printf("%d\n", r);
        else puts("No Solution");
    }
    return 0;
}