写在前面

这篇文章的主体是在没网的悲惨状况下完成的。

前置知识：Trie 树，DFA，KMP 字符串匹配算法。

请务必深刻理解！

定义

\(|\sum|\)：字符集大小，在大多数题目中都等于小写字母个数 26。

\(s[i:j]\)：字符串 \(s\) 的子串 \(s_i\cdots s_j\)。

真前/后缀：字符串 \(s\) 的真前缀定义为满足不等于它本身的 \(s\) 的前缀。同理就有了真后缀的定义：满足不等于它本身的 \(s\) 的后缀。

\(\operatorname{border}\)：字符串 \(s\) 的 \(\operatorname{border}\) 定义为，满足既是 \(s\) 的真前缀，又是 \(s\) 的真后缀的最长的字符串 \(t\)。

如 \(\texttt{aabaa}\) 的 \(\operatorname{border}\) 为 \(\texttt{aa}\)。

引入

P5357 【模板】AC自动机

给定一个文本串 \(s\)，\(n\) 个模式串 \(t_1\sim t_n\)，求在文本串中各模式串分别出现的次数。

字符串仅由小写字母构成。可能出现重复的模式串。

\(1\le n\le 2\times 10^5\)，\(\sum |t_i|\le 2\times 10^5\)，\(1\le |s|\le 2\times 10^6\)。

若 \(n = 1\)，可以使用 KMP 算法在 \(O(|s| + |t|)\) 的时空复杂度内求解。

AC 自动机可以认为是 KMP 算法在 Trie 树上的应用，与 KMP 算法在失配时应用已匹配部分的 \(\operatorname{border}\) 进行跳转类似，AC 自动机在失配时会根据失配指针跳转到 Trie 树上代表已匹配部分的 \(\operatorname{border}\) 的节点，从而加速匹配。

值得注意的是，KMP 也是一种建立在模式串上的自动机。AC 自动机与 KMP 的关系，相当于 SAM 与 广义 SAM 的关系。

构造

先把所有字符串插入 Trie 中。可能存在相同模式串，需要记录每个状态代表的字符串的编号，可使用 vector 实现。之后再考虑如何建立 ACAM。

void Insert(int id_, char *s_) {

  int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

  for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

    if (! tr[now][s_[i] - 'a']) tr[now][s_[i] - 'a'] = ++ node_num;

    now = tr[now][s_[i] - 'a'];

  }

  id[now].push_back(id_); //记录

}

暴力

按照 KMP 的思路直接构造。

与 KMP 类似地，记 \(\operatorname{fail}_u\) 表示从根节点到状态 \(u\) 所代表的字符串（即已匹配部分）的 \(\operatorname{border}\) 对应的字符串的状态。

在更新 \(\operatorname{fail}_u\) 前，必须保证比 \(u\) 深度浅的节点都已被更新过。则需要按照 bfs 的顺序进行构造。

考虑使用 \(u\) 来更新 \(v=\operatorname{tr}(u,c)\) 的信息，其中 \(c\) 是 Trie 树转移边上的字符，\(\operatorname{tr}(u,c)\) 表示在 \(u\) 按照转移边 \(c\) 转移到的状态。注意此处 \(\operatorname{tr}(u,c)\) 可以不存在。

同 KMP，考察 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_u, c)\) 的存在性。若存在，则 \(\operatorname{fail}_{\operatorname{tr}(u,c)} = \operatorname{tr}({\operatorname{fail}_u, c})\)。若不存在则继续考察 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_{\operatorname{fail}_u})\dots\)，直到找到满足条件的状态，或者到达根节点。

代码如下：

void Build() {

  std::queue <int> q;

  for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

    if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

  }

  while (! q.empty()) {

    int u_ = q.front(); q.pop();

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      int v_ = tr[u_][i], j = fail[u_];

      while (j && !tr[j][i]) j = fail[j]; //大力跳 fail

      if (tr[j][i]) j = tr[j][i]; //有出边

      fail[v_] = j;

      if (v_) q.push(v_);

    }

  }

}

字典图优化

可以发现，在暴力的 while 跳 \(\operatorname{fail}\) 中，可能会出现重复的跳跃，这是暴力构建复杂度较高的主要原因。

考虑将重复的跳跃进行路径压缩，可以写出如下的代码：

void Build() {

  std::queue <int> q;

  for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

    if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

  }

  while (! q.empty()) {

    int u_ = q.front(); q.pop();

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[u_][i]) {

        fail[tr[u_][i]] = tr[fail[u_]][i];

        q.push(tr[u_][i]);

      } else {

        tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

      }

    }

  }

}

稍微解释一下。在暴力的代码中，跳 \(\operatorname{fail}\) 是这样的：while (j && !tr[j][i]) j = fail[j];。

而在优化后的代码中，\(\operatorname{fail}_u\) 已经指向了在未优化代码中 \(j\) 最后的位置，因此可以直接赋值 fail[tr[u_][i]] = tr[fail[u_]][i];。实现这一功能的关键是这一句：tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];。

关于其原理，可以考虑在暴力中什么情况下会多次跳 \(\operatorname{fail}\)。

显然，当 while 中出现 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_u, i)\) 不存在的情况时，才会继续考察 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_{\operatorname{fail}_u}, i)\) 的存在性。但在优化后，通过 tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i]; 的赋值后，会让本不存在的 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_u,i)\) 变为 \(\operatorname{tr}(\operatorname{fail}_{\operatorname{fail}_u}, i)\)，成为一个“存在”的状态。通过这种类似递推的定义，从而完成了路径压缩的过程。

记 Trie 的节点个数为 \(n\)，优化后构建 ACAM 的时间复杂度显然为 \(O(n|\sum|)\)。

匹配

在线

把文本串扔到 ACAM 上进行匹配。经过上述的路径压缩，若当前所在的状态 \(u\) 不存在 \(s_i\) 的转移，不需要大力跳 \(\operatorname{fail}\)，可以直接转移到 \(tr(u:s_i)\)。

设当前匹配到 \(s_i\)，匹配到状态 \(u\)。可以发现，此时的已匹配部分（根到 \(u\) 的路径）是 \(s[1,i]\) 的一段后缀，也是某模式串的一段前缀。

跳 \(\operatorname{fail}\) 可以认为是在削除已匹配的前缀。在匹配过程中，每跑到一个状态，就暴力地跳 \(\operatorname{fail}\)，即可枚举出所有被已匹配部分包含的模式串的前缀。

可以在线地统计信息。

void Query(char *s_) {

  int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

  for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

    now = tr[now][s_[i] - 'a'];

    for (int j = now; j; j = fail[j]) { //枚举已匹配部分包含的模式串

      for (int k = 0, lim = id[j].size(); k < lim; ++ k) { //累计答案

        sum[id[j][k]] ++;

      }

    }

  }

  for (int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d\n", sum[i]);

}

离线

可以发现上述在线统计贡献时只能每次令贡献 \(+1\)，算法复杂度上界显然为 \(O(n|t|)\)。

在 P3808 【模板】AC 自动机（简单版） 和 P3796 【模板】AC自动机（加强版） 大多数人都采用了这种写法。然而在 引入 中这种写法会被卡到 60。

于是考虑离线操作，标记匹配状态，再离线地统计贡献。

对于引入中给出的问题，先把文本串 \(t\) 放到 ACAM 上跑一遍，记录遍历到了哪些状态，并使改状态出现次数 \(+1\)。枚举到 \(t_i\) 时的状态 \(now\) 代表了一个作为 \(t[1:i]\) 的后缀的最长的某模式串的前缀。

之后建立 \(\operatorname{fail}\) 树，在 \(\operatorname{fail}\) 树上 DP。根据 \(\operatorname{fail}\) 的定义和它们的相互包含关系，即可求得每个状态在文本串中出现的次数 \(\operatorname{size}\)，从而得到模式串的出现次数 \(\operatorname{sum}\)。

上述做法类似树上差分，记 Trie 的节点个数为 \(n\)，显然总时间复杂度 \(O(|t| + n)\) 级别。

void Dfs(int u_) {

  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {

    int v_ = v[i];

    Dfs(v_);

    size[u_] += size[v_]; //u_ 被 v_ 包含

  }

  for (int i = 0, lim = id[u_].size(); i < lim; ++ i) { //枚举状态代表的模式串

    sum[id[u_][i]] = size[u_];

  }

}

void Query(char *t_) {

  int now = 0, lth = strlen(t_ + 1);

  for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

    now = tr[now][t_[i] - 'a'];

    ++ size[now];

  }

  for (int i = 1; i <= node_num; ++ i) Add(fail[i], i);

  Dfs(0);

  for (int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d\n", sum[i]);

}

复杂度

记 Trie 的节点数量为 \(n\)，\(n\) 的上界为 \(\sum |s_i|\)。

对于时间复杂度，构建 Trie 图的复杂度为 \(O(n|\sum|)\)，匹配的复杂度为 \(O(|t| + n)\) 级别。

对于空间复杂度，显然复杂度为 \(O(n|\sum|)\)。

完整代码

//知识点：ACAM

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#include <vector>

#define LL long long

const int kT = 2e6 + 10;

const int kN = 2e5 + 10;

//=============================================================

int n;

char s[kT];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

namespace ACAM {

  std::vector <int> id[kN];

  int node_num, tr[kN][26], sum[kN], fail[kN];

  int e_num, size[kN], head[kN], v[kN], ne[kN];

  void Add(int u_, int v_) {

    v[++ e_num] = v_;

    ne[e_num] = head[u_];

    head[u_] = e_num;

  }

  void Dfs(int u_) {

    for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {

      int v_ = v[i];

      Dfs(v_);

      size[u_] += size[v_];

    }

    for (int i = 0, lim = id[u_].size(); i < lim; ++ i) {

      sum[id[u_][i]] = size[u_];

    }

  }

  void Insert(int id_, char *s_) {

    int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[now][s_[i] - 'a']) tr[now][s_[i] - 'a'] = ++ node_num;

      now = tr[now][s_[i] - 'a'];

    }

    id[now].push_back(id_);

  }

  void Build() {

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

        if (tr[u_][i]) {

          fail[tr[u_][i]] = tr[fail[u_]][i];

          q.push(tr[u_][i]);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  void Query(char *t_) {

    int now = 0, lth = strlen(t_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      now = tr[now][t_[i] - 'a'];

      ++ size[now];

    }

    for (int i = 1; i <= node_num; ++ i) Add(fail[i], i);

    Dfs(0);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d\n", sum[i]);

  }

}

//=============================================================

int main() {

  n = read();

  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {

    scanf("%s", s + 1);

    ACAM::Insert(i, s);

  }

  ACAM::Build();

  scanf("%s", s + 1);

  ACAM::Query(s);

  return 0;

}

例题

P3796 【模板】AC 自动机（加强版）

\(t\) 组数据，每次给定一个文本串 \(s\)，\(n\) 个模式串 \(t_1\sim t_n\)，求在文本串中出现次数最多的模式串。

字符串仅由小写字母构成。模式串互不相同。

\(1\le t\le 50\)，\(1\le n\le 150\)，\(1\le |t_i|\le 70\)，\(1\le |s|\le 10^6\)。

板子。

//知识点：ACAM

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#define LL long long

const int kN = 150 + 5;

const int kT = 1e6 + 10;

const int kNN = 2e5 + 10;

//=============================================================

int n;

char s[kN][71], t[kT];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

struct ACAM {

  int node_num, tr[kNN][26], id[kNN], size[kNN], sum[kNN], fail[kNN];

  int e_num, head[kNN], v[kNN], ne[kNN];

  void Init() {

    node_num = e_num = 0;

    memset(tr, 0, sizeof (tr));

    memset(id, 0, sizeof (id));

    memset(size, 0, sizeof (size));

    memset(head, 0, sizeof (head));

    memset(fail, 0, sizeof (fail));

  }

  void Add(int u_, int v_) {

    v[++ e_num] = v_;

    ne[e_num] = head[u_];

    head[u_] = e_num;

  }

  void Dfs(int u_) {

    for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {

      int v_ = v[i];

      Dfs(v_);

      size[u_] += size[v_];

    }

    sum[id[u_]] = size[u_];

  }

  void Insert(int id_, char *s_) {

    int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[now][s_[i] - 'a']) tr[now][s_[i] - 'a'] = ++ node_num;

      now = tr[now][s_[i] - 'a'];

    }

    id[now] = id_;

  }

  void Build() {

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

        if (tr[u_][i]) {

          fail[tr[u_][i]] = tr[fail[u_]][i];

          q.push(tr[u_][i]);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  void Query(char *s_) {

    int now = 0, ans = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      now = tr[now][s_[i] - 'a'];

      ++ size[now];

    }

    for (int i = 1; i <= node_num; ++ i) Add(fail[i], i);

    Dfs(0);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) Chkmax(ans, sum[i]);

    printf("%d\n", ans);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {

      if (sum[i] == ans) printf("%s\n", s[i] + 1);

    }

  }

} acam;

//=============================================================

int main() {

  while (true) {

    n = read();

    if (! n) break;

    acam.Init();

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {

      scanf("%s", s[i] + 1);

      acam.Insert(i, s[i]);

    }

    acam.Build();

    scanf("%s", t + 1);

    acam.Query(t);

  }

  return 0;

}

P3808 【模板】AC 自动机（简单版）

给定 \(n\) 个模式串 \(s_i\) 和一个文本串 \(t\)，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。

字符串仅由小写字母构成。两个模式串不同当且仅当他们编号不同。

\(1\le n,\sum|s_i|\le 10^6\)，\(1\le |t|\le 10^6\)。

1S，512MB。

题意考虑模式串是否出现，在 Trie 中仅需维护每个状态代表多少个模式串，记为 \(\operatorname{cnt}\)。

建出 ACAM，文本串匹配过程中记录到达过哪些状态。之后在 \(\operatorname{fail}\) 树上 DP，求得哪些状态在文本串中出现过。将它们的 \(\operatorname{cnt}\) 求和即可。

总时空复杂度 \(O(\sum |s_i|)\) 级别。

//知识点：ACAM

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#include <vector>

#define LL long long

const int kN = 1e6 + 10;

//=============================================================

int n;

char s[kN];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

namespace ACAM {

  int node_num, tr[kN][26], cnt[kN], fail[kN];

  int e_num, head[kN], v[kN], ne[kN];

  bool size[kN];

  void Add(int u_, int v_) {

    v[++ e_num] = v_;

    ne[e_num] = head[u_];

    head[u_] = e_num;

  }

  int Dfs(int u_) {

    int ret = 0;

    for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {

      int v_ = v[i];

      ret += Dfs(v_);

      size[u_] |= size[v_];

    }

    return ret + size[u_] * cnt[u_];

  }

  void Insert(int id_, char *s_) {

    int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[now][s_[i] - 'a']) tr[now][s_[i] - 'a'] = ++ node_num;

      now = tr[now][s_[i] - 'a'];

    }

    ++ cnt[now];

  }

  void Build() {

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

        if (tr[u_][i]) {

          fail[tr[u_][i]] = tr[fail[u_]][i];

          q.push(tr[u_][i]);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  void Query(char *s_) {

    int now = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      now = tr[now][s_[i] - 'a'];

      size[now] = 1;

    }

    for (int i = 1; i <= node_num; ++ i) Add(fail[i], i);

    printf("%d\n", Dfs(0));

  }

}

//=============================================================

int main() {

  n = read();

  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {

    scanf("%s", s + 1);

    ACAM::Insert(i, s);

  }

  ACAM::Build();

  scanf("%s", s + 1);

  ACAM::Query(s);

  return 0;

}

「JSOI2007」文本生成器

给定 \(n\) 个只由大写字母构成的模式串 \(s_1\sim s_n\)，给定参数 \(m\)。

求有多少个长度为 \(m\) 的只由大写字母构成的字符串，满足其中至少有一个给定的模式串，答案对 \(10^4 + 7\) 取模。

\(1\le n\le 60\)，\(1\le |s_i|,m\le 100\)。

1S，128MB。

？这做法是个套路

先建立 ACAM，建 Trie 图的时候顺便标记所有包含模式串的状态。记这些状态构成集合 \(\mathbf{S}\)。

发现不好处理含有多个模式串的情况，考虑补集转化，答案为所有串的个数 \(26^{m}\) 减去不含模式串的串个数。

考虑 ACAM 上 DP。设 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\)，在 ACAM 上匹配的结束状态为 \(j\)，不含模式串的字符串的个数。

初始化空串 \(f_{0,0} = 1\)。转移时枚举串长，状态，转移函数，避免转移到包含模式串的状态，有：

\[f_{i,j} = \begin{cases}
&\sum\limits_{\operatorname{trans}(u, k) = j} f_{i-1, u} &(j\notin \mathbf{S})\\
&0 &(j\in \mathbf{S})
\end{cases}\]

注意转移时需要枚举空串的状态 0。实现时滚动数组 + 填表即可。

记 Trie 的大小为 \(|T|\)，答案即为：

\[26^m - \sum_{i=0}^{|T|} f_{m,i} \pmod{10^4+7}
\]

总时间复杂度 \(O(m|T||\sum|)\) 级别。

为什么可以这样转移？

可以发现建立 Trie 图后，这个转移过程就相当于字符串的匹配过程。

可以认为 DP 过程是通过所有长度为 \(i-1\) 的字符串在 ACAM 上做匹配，从而得到长度为 \(i\) 的字符串对应的状态。

//知识点：ACAM

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#define LL long long

const int kN = 100 + 10;

const int mod = 1e4 + 7;

//=============================================================

int n, m, ans;

char s[kN];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) {

    w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  }

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir_, int sec_) {

  if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;

}

void Chkmin(int &fir_, int sec_) {

  if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;

}

namespace ACAM {

  int node_num, tr[60 * kN][26], fail[60 * kN], f[2][60 * kN];

  bool tag[60 * kN];

  void Insert(char *s_) {

    int u_ = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[u_][s_[i] - 'A']) tr[u_][s_[i] - 'A'] = ++ node_num;

      u_ = tr[u_][s_[i] - 'A'];

    }

    tag[u_] = true;

  }

  void Build() {

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

        int v_ = tr[u_][i];

        if (v_) {

          fail[v_] = tr[fail[u_]][i];

          tag[v_] |= tag[fail[v_]];

          q.push(v_);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  void Query() {

    ans = f[0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= m; ++ i) ans = 26ll * ans % mod;

    for (int i = 1, now = 1; i <= m; ++ i, now ^= 1) {

      memset(f[now], 0, sizeof (f[now])); //caution：reset

      for (int j = 0; j <= node_num; ++ j) {

        for (int k = 0; k < 26; ++ k) {

          if (tag[tr[j][k]]) continue;

          f[now][tr[j][k]] += f[now ^ 1][j];

          f[now][tr[j][k]] %= mod;

        }

      }

    }

    for (int i = 0; i <= node_num; ++ i) {

      ans = (ans - f[m % 2][i] + mod) % mod;

    }

  }

}

//=============================================================

int main() {

  n = read(), m = read();

  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {

    scanf("%s", s + 1);

    ACAM::Insert(s);

  }

  ACAM::Build();

  ACAM::Query();

  printf("%d\n", ans);

  return 0;

}

「BJOI2019」奥术神杖

给定一只由数字和\(\texttt{.}\)构成的字符串 \(s\)。给定 \(m\) 个特殊串 \(t_{1}\sim t_{m}\)，\(t_i\) 的权值为 \(v_i\)。

需要在 \(s\) 中为\(\texttt{.}\)的位置上填入数字，一种填入方案的价值定义为：

\[\sqrt[c]{\prod_{i=1}^{c} w_i}
\]

其中 \(w\) 表示在该填入方案中，出现过的特殊串的价值的可重集合，其大小为 \(c\)。

每个位置填入的数字任意，最大化填入方案的价值，并输出任意一个方案。

\(1\le m,|s|,\sum|t_i|\le 1501\)，\(1\le v_i\le 10^9\)。

1S，512MB。

对于两种填入方案，我们只关心它们价值的相对大小。带着根号不易比较大小，套路地取个对数，之后化下式子：

\[\begin{aligned}
\large \log {\sqrt[c]{\prod_{i=1}^{c} w_i}} =& \dfrac{\log {\left(\prod\limits_{i=1}^{c} w_i\right)}}{c}\\
=& \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{c} \log {w_i}}{c}
\end{aligned}\]

这是一个显然的 01 分数规划的形态，考虑二分答案。存在一种填入方案价值不小于 \(mid\) 的充要条件为：

\[\begin{aligned}
\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{c} \log {w_i}}{c}\ge mid \iff \sum\limits_{i=1}^{c}\left(\log {w_i} - mid\right)\ge 0
\end{aligned}\]

考虑 DP 检查二分量 \(mid\) 是否合法。

具体地，先将特殊串 \(t_i\) 的权值设为 \(\log v_i - mid\)，更新 ACAM 上各状态的权值，之后在 ACAM 上模拟匹配过程套路 DP。

设 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\)，在 ACAM 上匹配的结束状态为 \(j\) 的串的最大价值。

初始化 \(f_{0,0} = 0\)，转移时枚举串长，状态，转移函数。注意某一位不为\(\texttt{.}\)时转移函数只能为串中的字符，则有：

\[f_{i,j} = \begin{cases}
&\max\limits_{\operatorname{trans}(u, s_i) = j} f_{i-1, u} + \operatorname{val}_{j} &(s_i\not= \texttt{.})\\
&\max\limits_{\operatorname{trans}(u, k) = j} f_{i-1, u} + \operatorname{val}_{j} &(s_i= \texttt{.})
\end{cases}\]

注意记录转移时的前驱与转移函数，根据前驱还原出方案即可。

总复杂度 \(O(\left(10|s|\cdot\sum |t_i|\right)\log w)\) 级别，\(\log w\) 为二分次数。

//知识点：ACAM，分数规划

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#define LL long long

#define DB double

const int kN = 3e3 + 10;

const DB kInf = 1e10;

const DB eps = 1e-6;

//=============================================================

int n, m;

char origin[kN], s[kN], ans[kN];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

namespace ACAM {

  int node_num = 0, tr[kN][10], fail[kN], cnt[kN], from[kN][kN];

  DB sum[kN], val[kN], f[kN][kN];

  char ch[kN][kN];

  void Insert(char *s_, int val_) {

    int u_ = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[u_][s_[i] - '0']) tr[u_][s_[i] - '0'] = ++ node_num;

      u_ = tr[u_][s_[i] - '0'];

    }

    sum[u_] += log(val_);

    cnt[u_] ++;

  }

  void Build() {

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 10; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 10; ++ i) {

        int v_ = tr[u_][i];

        if (v_) {

          fail[v_] = tr[fail[u_]][i];

          sum[v_] += sum[fail[v_]];

          cnt[v_] += cnt[fail[v_]];

          q.push(v_);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  bool DP(DB mid_) {

    //初始化

    for (int i = 0; i <= node_num; ++ i) val[i] = sum[i] - cnt[i] * mid_;

    for (int i = 0; i <= n; ++ i) {

      for (int j = 0; j <= node_num; ++ j) {

        f[i][j] = -kInf;

      }

    }

    f[0][0] = 0;

    //DP

    for (int i = 0; i < n; ++ i) {

      for (int j = 0; j <= node_num; ++ j) {

        if (f[i][j] == -kInf) continue;

        if (origin[i + 1] == '.') {

          for (int k = 0; k < 10; ++ k) {

            int v_ = tr[j][k];

            if (f[i + 1][v_] < f[i][j] + val[v_]) {

              f[i + 1][v_] = f[i][j] + val[v_];

              from[i + 1][v_] = j;

              ch[i + 1][v_] = k + '0';

            }

          }

        } else {

          int v_ = tr[j][origin[i + 1] - '0'];

          if (f[i + 1][v_] < f[i][j] + val[v_]) {

            f[i + 1][v_] = f[i][j] + val[v_];

            from[i + 1][v_] = j;

            ch[i + 1][v_] = origin[i + 1];

          }

        }

      }

    }

    //寻找最优解

    int pos = 0;

    for (int i = 0; i <= node_num; ++ i) {

      if (f[n][i] > f[n][pos]) pos = i;

    }

    if (f[n][pos] <= 0) return false;

    for (int i = n, j = pos; i; -- i) {

      ans[i] = ch[i][j];

      j = from[i][j];

    }

    return true;

  }

}

//=============================================================

int main() {

  n = read(), m = read();

  scanf("%s", origin + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {

    scanf("%s", s + 1);

    int val = read();

    ACAM::Insert(s, val);

  }

  ACAM::Build();

  for (DB l = 0, r = log(kInf); r - l >= eps; ) {

    DB mid = (l + r) / 2.0;

    if (ACAM::DP(mid)) {

      l = mid;

    } else {

      r = mid;

    }

  }

  printf("%s", ans + 1);

  return 0;

}

「SDOI2014」数数

给定一个整数 \(n\)，一大小为 \(m\) 的数字串集合 \(s\)。

求不以 \(s\) 中任意一个数字串作为子串的，不大于 \(n\) 的数字的个数。

\(1\le n\le 10^{1201}\)，\(1\le m\le 100\)，\(1\le \sum |s_i|\le 1500\)。\(n\) 没有前导零，\(s_i\) 可能存在前导零。

1S，128MB。

数位 DP 相关内容可以阅读：「笔记」数位DP。

题目要求不以 \(s\) 中任意一个数字串作为子串，想到这题：「JSOI2007」文本生成器。首先套路地对给定集合的串构建 ACAM，并在 ACAM 上标记所有包含集合内的子串的状态。

之后考虑在 ACAM 上模拟串匹配的过程做数位 DP。发现前缀所在状态储存了前缀的所有信息，可以将其作为 dfs 的参数。

设 Dfs(int now_, int pos_, bool zero_, bool lim_) { 表示前缀匹配到的 ACAM 的状态为 \(\operatorname{pos}\) 时，合法的数字的数量。转移时沿 ACAM 上的转移函数转移，避免转移到被标记的状态。再简单记忆化即可。

存在 \(\operatorname{trans}(0, 0) = 0\)，这样直接 dfs 也能顺便处理不同长度的数字串。

总复杂度 \(O(\log_{10}(n)\sum |s_i|)\) 级别。

//知识点：ACAM，数位 DP

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#define LL long long

const int kN = 1500 + 10;

const int mod = 1e9 + 7;

//=============================================================

int n, m, ans;

char num[kN], s[kN];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

namespace ACAM {

  const int kSigma = 10;

  int node_num, tr[kN][kSigma], last[kN], fail[kN];

  int f[kN][kN];

  bool tag[kN];

  void Insert(char *s_) {

    int u_ = 0, lth = strlen(s_ + 1);

    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {

      if (! tr[u_][s_[i] - '0']) tr[u_][s_[i] - '0'] = ++ node_num;

      u_ = tr[u_][s_[i] - '0'];

      last[u_] = s_[i] - '0';

    }

    tag[u_] = true;

  }

  void Build() {

    std:: queue <int> q;

    for (int i = 0; i < kSigma; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (!q.empty()) {

      int u_ = q.front(); q.pop();

      tag[u_] |= tag[fail[u_]];

      for (int i = 0; i < kSigma; ++ i) {

        int v_ = tr[u_][i];

        if (v_) {

          fail[v_] = tr[fail[u_]][i];

          q.push(v_);

        } else {

          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];

        }

      }

    }

  }

  int Dfs(int now_, int pos_, bool zero_, bool lim_) {

    if (now_ > n) return 1;

    if (!zero_ && !lim_ && f[now_][pos_] != -1) return f[now_][pos_];

    int ret = 0;

    for (int i = 0, up = lim_ ? num[now_] - '0': 9; i <= up; ++ i) {

      int v_ = tr[pos_][i];

      if (tag[v_]) continue;

      if (zero_ && !i) ret += Dfs(now_ + 1, 0, true, lim_ && i == num[now_] - '0');

      else ret += Dfs(now_ + 1, v_, false, lim_ && i == num[now_] - '0');

      ret %= mod;

    }

    if (!zero_ && !lim_) f[now_][pos_] = ret;

    return ret;

  }

  int DP() {

    memset(f, -1, sizeof (f));

    return Dfs(1, 0, true, true);

  }

}

//=============================================================

int main() {

  scanf("%s", num + 1);

  n = strlen(num + 1);

  m = read();

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {

    scanf("%s", s + 1);

    ACAM::Insert(s);

  }

  ACAM::Build();

  printf("%d\n", ACAM::DP());

  return 0;

}

「NOI2011」阿狸的打字机

建议先阅读原题面后再阅读简述题面。

通过奇怪的方法给定 \(n\) 个字符串 \(s_1\sim s_n\)，给定 \(m\) 次询问。

每次询问给定参数 \(x\)，\(y\)，求在字符串 \(s_y\) 中 \(s_x\) 的出现次数。

\(1\le n,m,|\sum s_i|\le 10^5\)。

1S，256MB。

首先可以发现，题中给出的打字的过程与 Trie 的插入过程类似，由此可以直接构建出所有串的 Trie。

对 Trie 建立 ACAM 后，先考虑如何暴力查询。

对于每一次询问，都将字符串 \(s_y\) 扔到 ACAM 上匹配。每匹配到一个状态，就暴力上跳考察其在 \(\operatorname{fail}\) 树上的祖先中是否包含 \(s_x\) 对应状态。若包含则证明 \(s_x\) 作为当前匹配部分的一个后缀出现了，贡献累计即为答案。

总复杂度可以达到 \(O(T|\sum| + m|s_i|)\) 级别。其中 \(T\) 为 ACAM 节点数量，其上限为 \(\sum |s_i|\)。

注意到每次匹配的文本串都是模式串，这说明在匹配过程中，不会出现失配情况，且各状态不重复。即匹配过程中经过的路径是 Trie 中的一条自根向下的链。

观察暴力的过程，询问 \((x,y)\) 的答案即为祖先包括 \(s_x\) 状态的 \(s_y\) 的状态数。

由上述性质，这也可以理解为 \(\operatorname{fail}\) 树上祖先包括 \(s_x\) 的，自根至 \(s_y\) 的 Trie 上的链上的节点数量。

更具体地，考虑建立 \(\operatorname{fail}\) 树，答案为 \(s_x\) \(\operatorname{fail}\) 的子树中自根到 \(s_y\) 对应状态的链上的节点数量。

如何实现？对于询问 \((x,y)\)，考虑大力标记 \(s_y\) 对应的所有状态，再查询 \(\operatorname{fail}\) 树上 \(s_x\) 的子树中被标记点数。上述过程可通过 dfn 序 + 树状数组完成。

如果对每次询问都做一次上面的过程，显然是非常浪费的。考虑离线所有询问，在每次询问的状态 \(s_y\) 上打一个询问 \(s_x\) 的标记。

之后在 Trie 上 dfs，每第一次访问到一个节点，就令树状数组中对应 dfn 位置 \(+1\)，表示标记该节点。从该节点回溯时再 \(-1\)。

可以发现，dfs 到状态 \(u\) 时，被标记的节点恰好组成了自根至 \(s_y\) 的 Trie 上的链上的节点。则访问到 \(u\) 即可直接查询离线下来的询问。

总时间负责度 \(O(T|\sum| + m\log T)\)，其中 \(T\) 为 ACAM 节点数量，其上限为 \(\sum |s_i|\)。

实现细节详见代码，注意映射关系。

//知识点：ACAM，BIT

/*

By:Luckyblock

*/

#include <algorithm>

#include <cctype>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <queue>

#include <stack>

#include <vector>

#define LL long long

const int kN = 1e5 + 10;

//=============================================================

int n, ans[kN], pos[kN];

char s[kN];

std::vector <int> query1[kN], query2[kN];

//=============================================================

inline int read() {

  int f = 1, w = 0;

  char ch = getchar();

  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

    if (ch == '-') f = -1;

  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');

  return f * w;

}

void Chkmax(int &fir, int sec) {

  if (sec > fir) fir = sec;

}

void Chkmin(int &fir, int sec) {

  if (sec < fir) fir = sec;

}

namespace BIT {

  #define low(x) (x&-x)

  int Lim, t[kN];

  void Init(int lim_) {

    Lim = lim_;

  }

  void Insert(int pos_, int val_) {

    for (int i = pos_; i <= Lim; i += low(i)) {

      t[i] += val_;

    }

  }

  int Sum(int pos_) {

     int ret = 0;

    for (int i = pos_; i; i -= low(i)) {

      ret += t[i];

    }

    return ret;

  }

  int Query(int l_, int r_) {

    return Sum(r_) - Sum(l_ - 1);

  }

  #undef low

}

namespace ACAM {

  int node_num, fa[kN], tr[kN][26], fail[kN];

  int e_num, head[kN], v[kN], ne[kN];

  int dfn_num, dfn[kN], size[kN];

  std::vector <int> trans[kN]; //原 Trie 树上的转移。因为建立了 Trie 图，需要把它记录下来，

  void Read(char *s_) { //按照读入建立 Trie

    int now = 0;

    for(int i = 1, lim = strlen(s_ + 1); i <= lim; ++ i) {

      if (s_[i] == 'P') {

        pos[++ n] = now;

      } else if (s_[i] == 'B') {

        now = fa[now];

      } else {

        if (!tr[now][s_[i] - 'a']) {

          tr[now][s_[i] - 'a'] = ++ node_num;

          trans[now].push_back(node_num);

          fa[node_num] = now;

        }

        now = tr[now][s_[i] - 'a'];

      }

    }

  }

  void Add(int u_, int v_) {

    v[++ e_num] = v_;

    ne[e_num] = head[u_];

    head[u_] = e_num;

  }

  void Dfs(int u_) {

    dfn[u_] = ++ dfn_num;

    size[u_] = 1;

    for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {

      int v_ = v[i];

      Dfs(v_);

      size[u_] += size[v_];

    }

  }

  void Build(char *s_) {

    Read(s_);

    std::queue <int> q;

    for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

    }

    while (! q.empty()) {

      int now = q.front(); q.pop();

      for (int i = 0; i < 26; ++ i) {

        if (tr[now][i]) {

          fail[tr[now][i]] = tr[fail[now]][i];

          q.push(tr[now][i]);

        } else {

          tr[now][i] = tr[fail[now]][i];

        }

      }

    }

    for (int i = 1; i <= node_num; ++ i) Add(fail[i], i);

    Dfs(0);

    BIT::Init(node_num + 1);

  }

  void Query(int u_) { //dfs 回答询问到 u_

    BIT::Insert(dfn[u_], 1); //标记

    for (int i = 0, lim = query1[u_].size(); i < lim; ++ i) { //枚举此时可以回答的询问

      int x = query1[u_][i], id = query2[u_][i]; //查询 x 的子树中标记点的个数

      ans[id] = BIT::Query(dfn[x], dfn[x] + size[x] - 1);

    }

    for (int i = 0, lim = trans[u_].size(); i < lim; ++ i) Query(trans[u_][i]);

    BIT::Insert(dfn[u_], -1); //去除标记

  }

}

//=============================================================

int main() {

  scanf("%s", s + 1);

  ACAM::Build(s);

  int m = read();

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) { //离线询问

    int x = read(), y = read();

    query1[pos[y]].push_back(pos[x]);

    query2[pos[y]].push_back(i);

  }

  ACAM::Query(0);

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) printf("%d\n", ans[i]);

  return 0;

}

写在最后

参考资料：

AC 自动机 - OI Wiki

AC自动机学习笔记 - ouuan的博客

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