清北学堂例题 LUOGU2519 【HAOI2011】PROBLEM A
题目描述
一次考试共有n个人参加,第i个人说:“有ai个人分数比我高,bi个人分数比我低。”问最少有几个人没有说真话(可能有相同的分数)
输入格式
第一行一个整数n,接下来n行每行两个整数,第i+1行的两个整数分别代表ai、bi
输出格式
一个整数,表示最少有几个人说谎
输入输出样例
3
2 0
0 2
2 2
1
说明/提示
100%的数据满足: 1≤n≤100000 0≤ai、bi≤n
思路:
转变题意:题目中的 ai bi 表示从1+ai 到 n-bi排名区间内的同学的分数相同,且与不属于该区间的同学分数一定不同。
考虑补集思想:最少说假话人数=总人数-最多说真话人数
而又显然:如果两个区间相交但不重合,则发生冲突。
比如一个人说第三名和第四名的成绩相同,另一个说第四名和第五名成绩相同,则必然有一个人说了假话
考虑给区间赋上权值:一个区间的权值=本质相同的区间总数,且最大为区间长度。
比如有五个人都说自己的排名是第三到第五名,则至多三个同学说真话。
于是题目就变成了一个区间覆盖问题qvq 求权值最大且互不相交的区间覆盖
DP即可。注意和【今年暑假不AC】不同,由于区间带权,不能直接贪心(爆零警告)
先以右端点为第一关键字,左端点为第二关键字排序。
定义DP [ i ] 表示右端点覆盖到 i 的合法方式最大权值。
dp[ r [ i ] ] = max (dp [ l [ i ] ] + w[ i ],dp [ r [ i ] ] ) ;
dp[ i ] = max ( dp [ i - 1 ] , dp [ i ] ) ;
值得一提的是第二个转移必须要在 i 之前的①转移都已完成(也即i<=当前右端点)。注意转移顺序,具体见代码(貌似又写丑了orz)
时间复杂度O(nlogn)
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std; const int maxn=; int dp[maxn];
struct node{
int l,r,w;
}a[maxn]; inline bool cmp(node a,node b) {
if (a.r==b.r) return a.l<b.l;
return a.r<b.r;
} inline void init(int n) {
int cnt_l=,cnt_r=,cnt_val=;
for (int i=;i<=n;i++) {
int now_l=a[i].l,now_r=a[i].r;
if (now_l!=cnt_l || now_r!=cnt_r) {
cnt_val=;
cnt_l=now_l,cnt_r=now_r;
}
cnt_val++;
a[i].w=min(cnt_val,now_r-now_l+);
}
} int main() {
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++) {
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
a[i].l=x+,a[i].r=n-y;
}
sort(a+,a+n+,cmp);
init(n);
int cnt=;
for (int i=;i<=n;i++) {
if (a[i].r<a[i].l) continue;
if (a[i].r>cnt) {
for (int j=cnt+;j<=a[i].r;j++) dp[j]=max(dp[j],dp[j-]);
cnt=a[i].r;
}
int l=a[i].l,r=a[i].r;
dp[r]=max(dp[r],dp[l-]+a[i].w);
}
if (n>cnt) for (int i=cnt+;i<=n;i++) dp[i]=max(dp[i],dp[i-]);
cout << n-dp[n];
}
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