[问题2014A01] 解答二（后 n-1 列拆分法，由郭昱君同学提供）

[问题2014A01] 解答二（后 n-1 列拆分法，由郭昱君同学提供）

\[|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1^2-ax_1 & x_1^3-ax_1^2 & \cdots & x_1^n-ax_1^{n-1} \\ 1 & x_2^2-ax_2 & x_2^3-ax_2^2 & \cdots & x_2^n-ax_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n^2-ax_n & x_n^3-ax_n^2 & \cdots & x_n^n-ax_n^{n-1} \end{vmatrix}.\]

从第二列开始，每一列都可记做 “1” 和 “2” 两个部分，分别对后 \(n-1\) 列进行拆分，共可拆成 \(2^{n-1}\) 个行列式之和. 我们来考虑拆分出来的这些行列式，假设第 \(i\) 列是从左至右第一个选择 “1” 的列，由行列式的性质，要使拆分出来的行列式非零，则第 \(i+1,\cdots,n\) 列都要选择 “1”，此时前面的第 \(2,\cdots,i-1\) 列都是选择 “2”，因此每一列都可以提取公因子 \(-a\)，行列式可提取出 \((-a)^{i-1}\). 根据上面的分析，可得

\[|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}+(-a)\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^3 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^3 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}\]

\[+\cdots+(-a)^{n-1}\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}.\]

把 \(|A|\) 看成是按第一行进行展开的 \(n+1\) 阶行列式，有

\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & -1 & -a & \cdots & -a^{n-1} \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}.\]

当 \(a\neq 0\) 时，我们有 (接下去的一步是按第一列进行拆分):

\[|A|=-\frac{1}{a}\begin{vmatrix} 1+(-1) & a & a^2 & \cdots & a^n \\ 1+0 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1+0 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1+0 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}\]

\[=-\frac{1}{a}\Big(\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\prod_{i=1}^n(x_i-a)-\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\prod_{i=1}^nx_i\Big)\]

\[=\frac{1}{a}\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\Big(\prod_{i=1}^nx_i-\prod_{i=1}^n(x_i-a)\Big).\]

当 \(a=0\) 时，可用升阶法和 Vander Monde 行列式求出

\[|A|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\Big(\sum_{i=1}^nx_1\cdots\hat{x}_i\cdots x_n\Big).\quad\Box\]