在开始正式的介绍之前,先做一个简单的定义,以免产生歧义:

1、本文中的“数据点”是指:

1)对于直线拟合、平面拟合等问题,即为相应的二维/三维坐标点;

2)对于从匹配点中估计基本矩阵、单应矩阵等问题,即为一对匹配点坐标级联组成的向量。

一、RANSAC之前

RANSAC在1981年被Martin A. Fischler and Robert C. Bolles两人提出,以解决给定点集的模型估计问题。在现实应用中,我们经常遇到的情况是:给定的点集中存在错误的点。传统的模型估计方法,大都采用所有的点进行模型最小二乘的拟合,这种方法往往容易受野点影响而得到错误结果(相当于陷入局部最优)。该最小二乘法的一种变种是,首先用所有点估计模型,而后剔除误差较大的点,而后再次估计模型,以此迭代。然而,由于野点的影响,往往会导致最开始估计的模型不准确,从而导致正确的点被剔除掉,最终导致模型估计的失败。下面是一个例子:

由于点7的影响,导致正确的点被剔除,最终拟合的直线为虚线,而不是正确的实线。

二、RANSAC之1.0版本

RANSAC方法为第一个方法,采用最少能决定模型的点进行模型估计的方法,最原始的方法被描述为:

整个算法被分为三步:

1) 从所有的数据中采样n个点,以能确定出模型;

2) 利用采样点计算模型;

3) 利用模型来确定其他点是否是内点;如果内点率达到指定值,算法终止,并用所有内点优化模型;否则,继续上述过程,直到达到指定的迭代次数,此时将最高内点率对应的模型作为最终模型。

上述思路简洁明了,其核心思想就是:待求解的模型,应该是能同时使最多数据点都符合模型。从这一思想从发,其实可以有另一条不同的思路,后续我会进一步介绍。

三、RANSAC 1.0版本剖析

下面让我们回顾下该方法,看该方法在具体应用中,还需要解决哪些问题:

算法第一步,从数据中采样n个点,这里要求n为能确定模型的最小的数据量,那么该选取怎样的采样准则?从所有数据中采样,还是仅仅从部分数据(总数据的一个子集)中进行采样?每个数据被采集的可能性是否相同?采取随机采样,还是按一定顺序进行采样?是否需要避免同一组数据被重复采样,如果需要,该如何避免?这里先给出通常的做法,更加细致的分析也留到后续。通常情况下,我们在所有数据中进行随机采样,且所有数据每次被采样的可能性是一样的,而且我们通常不考虑两次采样得到的样本是重复的。

算法第二步,利用采样数据计算模型。我们知道,在第一步中,我们要求采样点尽可能少,同时我们也知道,当数据点存在噪声(通常考虑为高斯噪声)时,样本点的数目越多,求解的模型越准确。这就意味着我们此刻求解的模型不够准确,那么这个不够准确的模型,是否能够用来判断其他点是否是内点?其次,如果我们待求解的问题,无法用一个模型,或者无法用一个仅包含若干个参数的模型进行表达,此时是否还能使用“最大一致性”的思路?针对第一个问题,我们通常认为虽然模型存在误差,但是在后续内点判断中,我们设定一定的误差阈值,因此能够用该模型来近似最终模型。同时,一些RANSAC的改进,采用“局部优化”技术来一定层度解决这一问题,关于该方法的讨论,同样会在后续,进行详细的剖析。针对第二个问题,有一些无模型的“最大一致性估计”方法,同样也留待后续介绍。

算法第三步,首先,利用求解的模型确定其他点是否为内点。一个重要的问题是,如何判断其他点是否为内点?通过其他点与模型的符合程度?那么如何设置这样一个阈值?有时一个数据是否为内点(例如两个数据点相冲突,不可能同时为内点。这种情况会发生在:根据两张图特征点匹配,求解其基础矩阵时,如果A图中的两个点,匹配到B图中的同一个点),还与其他数据相关,那么此时如何考虑数据间的关联?

其次,“如果内点率达到指定值,则终止算法”,那么如何设置这样一个阈值?因为对于一组数据,通常情况下我们是无法知道其最大内点率。(但问题也不是绝对,我们也可以事先求解出最优模型对应的内点率。哈哈,是不是很crazy,这也留待后续的剖析。)因此,这一迭代的终止条件,现在的RANSAC算法中,已经很少见了。我们通常采用一定置信度下,达到能够保证至少一次所有的采样点都为内点的最少采样次数,作为终止条件。

最后,如何确定最少的采样次数。原文中提出了两种方案。假设在一次采样中,所有点都为内点的概率为p,那么“所有采样点都为内点首先发生在第k次采样”这一事件服从几何分布(参考射击时第k次才命中这一问题),于是:

原文方案一:求解k的期望值和方差,采用期望值加上2到3倍方差,作为采样次数。这种方案,可以理解为求解分布的“上分位数”,以保证以一定“所有采样点都为内点”在进行k次采样后发生过。

原文方案二:如果要求第 次采样后,至少一次“所有采样点都为内点”的概率大于 那么:

由此,

这里一次采样中所有点都为内点的概率为:

其中N为总数据量,n为最小采样数,为内点率。

在此,我们可以看出,为什么选取最少的样本点进行模型估计。因为,采样量每增加1,对应需要进行的采样次数就增加很多,尤其是在内点率很低的情况下,这种情况尤其严重。

写到这里,我们已经对RANSAC最初版本进行了详细的介绍,同时我们很具体剖析了其各个步骤可能面临的问题。针对这些问题,后续衍生出了很多RANSAC的变种,我们将在后续进行具体的介绍。

参考文献:

[1]   Fischler M A . Readings in Computer Vision || Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography[J]. Readings in Computer Vision, 1987:726-740.

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