1.工作原理:

  存在一个样本数据集合,也称为训练样本集,并且样本集中每个数据都存在标签,即我们知道样本集中每一数据与所属分类对应的关系。输入没有标签的数据后,将新数据中的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较,提取出样本集中特征最相似数据(最近邻)的分类标签。一般来说,我们只选择样本数据集中前k个最相似的数据,这就是k近邻算法中k的出处,通常k是不大于20的整数。最后选择k个最相似数据中出现次数最多的分类作为新数据的分类。

  1. 算法三要素:
    1. 距离度量,由不同的距离度量所确定的最近邻点是不同的
      1. Lp距离或Minkowski距离(闵可夫斯基距离)

        • $$D(x,y) =\sqrt[p]{(|x_1-y_1|)^p + (|x_2-y_2|)^p + ... + (|x_n-y_n|)^p} =\sqrt[p]{\sum\limits_{i=1}^{n}(|x_i-y_i|)^p}$$
      2. 曼哈顿距离,p=1
        • $$D(x,y) =|x_1-y_1| + |x_2-y_2| + ... + |x_n-y_n| =\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-y_i|$$
      3. 欧氏距离,p=2
        • $$D(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$$
    2. k值的选择
      • k值小,模型容易过拟合
      • k值大,模型容易欠拟合
    3. 分类决策规则
  2. 输入:训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}
  3. 输出:实例x所属的类y
  4. 算法步骤:
    1. 根据给定的距离度量,在训练集T中找出与x最近邻的k个点,涵盖着k个点的x的邻域记作Nk(x);
    2. 在Nk(x)中根据分类决策规则(如多数投票)决定x的类别y(k=1时,称为最近邻算法
  5. 算法优缺点:
    • 优点:既可以做分类也可以做回归;对异常值不敏感;时间复杂度O(N),适用于样本量大的 分类,而 样本量小的容易产生误分类
    • 缺点:计算量大;样本不平衡时,对稀有类别的是预测准确率低;KD树的模型需要大量的内存;相比决策树,KNN的可解释性不强

2.KD树

  KD树算法没有一开始就尝试对测试样本分类,而是先对训练集建模,建立的模型就是KD树,建好了模型再对测试集做预测。所谓的KD树就是K个特征维度的树,注意这里的K和KNN中的K的意思不同。KNN中的K代表最近的K个样本,KD树中的K代表样本特征的维数。为了防止混淆,后面我们称特征维数为n。

KD树算法:

  1. 建树

    • 从m个样本的n维特征中,分别计算n个特征的取值的方差,用方差最大的第k维特征nk来作为根节点。对于这个特征,我们选择特征nk的取值的中位数nkv对应的样本作为划分点,对于所有第k维特征的取值小于nkv的样本,我们划入左子树,对于第k维特征的取值大于等于nkv的样本,我们划入右子树,对于左子树和右子树,我们采用和刚才同样的办法来找方差最大的特征来做更节点,递归的生成KD树。
  2. 搜索最近邻
    • 当我们生成KD树以后,就可以去预测测试集里面的样本目标点了。对于一个目标点,我们首先在KD树里面找到包含目标点的叶子节点。以目标点为圆心,以目标点到叶子节点样本实例的距离为半径,得到一个超球体,最近邻的点一定在这个超球体内部。然后返回叶子节点的父节点,检查另一个子节点包含的超矩形体是否和超球体相交,如果相交就到这个子节点寻找是否有更加近的近邻,有的话就更新最近邻。如果不相交那就简单了,我们直接返回父节点的父节点,在另一个子树继续搜索最近邻。当回溯到根节点时,算法结束,此时保存的最近邻节点就是最终的最近邻。
  3. 预测
    • 在KD树搜索最近邻的基础上,选择到了第一个最近邻样本,就把它置为已选。在第二轮中,我们忽略置为已选的样本,重新选择最近邻,这样跑k次,就得到了目标的K个最近邻,然后根据多数表决法,如果是KNN分类,预测为K个最近邻里面有最多类别数的类别。如果是KNN回归,用K个最近邻样本输出的平均值作为回归预测值。

3.实现

  1. sklearn knn

    • KNN分类树的类是KNeighborsClassifier,KNN回归树的类是KNeighborsRegressor。除此之外,还有KNN的扩展,即限定半径最近邻分类树的类RadiusNeighborsClassifier和限定半径最近邻回归树的类RadiusNeighborsRegressor, 以及最近质心分类算法NearestCentroid。
  2. 例子详解

参考文献:

【1】K近邻法(KNN)原理小结

【2】scikit-learn K近邻法类库使用小结

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