polya置换
POLYA定理的基本应用
题意:
有n个珠子围成的环,有t种颜色可以染这些珠子;
如果这个环可以旋转有几种办法;
如果这个环可以旋转,且可以翻转,有几种办法;
刘汝佳的分析:
等价类计数问题。一共有两种置换,选择以及翻转。项链只有第一种置换,手镯则有两种置换。设所有珠子按逆时针编号0~n-1。
旋转置换:如果逆时针旋转i颗珠子的间距,则珠子0、i、2i、…构成一个循环。这个循环有n/gcd(i,n)个元素。根据对称性,所有循环的长度相同,因此一共有n/(n/gcd(i,n)) = gcd(i,n)个循环。该置换的不动点数为t^(gcd(i,n))。所有置换的不动点总数为a = sum{t^gcd(i,n) | i = 0,1,…,n - 1}。
翻转置换:分情况讨论。当n是奇数时,对称轴有n条,每条对称轴形成(n-1)/2个长为2的循环以及1个长为1的循环,即(n+1)/2个循环。这些置换的不动点总数是b=nt^((n+1)/2)。
当n是偶数时,有两种对称轴。穿过珠子的对称轴有n/2条,各形成n/2-1个长为2的循环,还形成两个长为1的循环;不穿过珠子的对称轴有n/2条,各形成n/2个长为2的循环。这些置换的不动点总数是b = n / 2 * (t ^ (n / 2 + 1) + t ^ (n / 2))。
根据Polya定理,项链总数为a/n,手镯总数是(a + b) / (2n)。
#include<bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define first fi
#define second se
#define pw(x) (1ll << (x))
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<(r);i++)
#define per(i,r,l) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define FOR(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define eps 1e-9
#define PIE acos(-1)
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define fastio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define lson l , mid , ls
#define rson mid + 1 , r , rs
#define ls (rt<<1)
#define rs (ls|1)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define freopen freopen("in.txt","r",stdin);
#define cfin ifstream cin("in.txt");
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(a) a*a
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define vi vector<int>
#define pii pair<int, int>
#define dd(x) cout << #x << " = " << (x) << ", "
#define de(x) cout << #x << " = " << (x) << "\n"
#define endl "\n"
using namespace std;
//**********************************
int n,t;
ll f[];
//**********************************
void get(int n)
{
f[]=;
FOR(i,,n)f[i]=f[i-]*t;
}
inline int gcd(int a,int b)
{
return b==?a:gcd(b,a%b);
}
//**********************************
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&t)){
get(n);
ll a=,b=;
rep(i,,n)a+=f[gcd(i,n)];
if(n%==)b=n*(f[(n+)/]);
else b=n/*(f[n/+]+f[n/]);
printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)//n);
}
return ;
}
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