CSP初赛复习

初赛复习

初赛一定要过啊，否则付出的那么多都白搭了！

while(1)
    ++csp.rp,++csp.luck,++csp.scores;

历史

• 2020年开始,除NOIP以外的NOI系列其他赛事(包括冬令营、CTSC、APIO、NOI)将不再支持Pascal语言和C语言。从2022年开始,NOIP竞赛也将不再支持Pascal语言。

• 图灵奖 (A.M. Turing Award) 由ACM于1966年设立 ，“计算机界的诺贝尔奖”
  
  奖励那些对计算机事业做出重要贡献的个人

  约翰•冯•诺依曼奖 由IEEE（电气和电子工程师协会）于1990年成立
  
  表扬在计算机科学和技术上具有杰出成就的科学家

  高德纳奖 (Donald E. Knuth Prize) 始于1996 1.5年颁发一次
  
  授予为计算机科学基础做出杰出贡献的人

  王选奖 CCF
  
  授予在计算机科学技术前沿取得重要突破，研究成果通过转化和产业化，创造显著经济或社会效益的科技工作者

• 第一台计算机 ENIAC（ENIAC是继ABC（阿塔纳索夫-贝瑞计算机）之后的第二台电子计算机和第一台通用计算机）

  第一台具有存储程序功能的计算机 EDVAC（离散变量自动电子计算机）

• NOI	1984年
  NOIP	1995年
  冬令营	1995年
  APIO	2007年

计算机原理结构

• 首位0、1分别表示正、负，正数的反码是它本身，负数的反码是它原码除符号位外按位取反；正数的补码是它本身，负数的补码是它的反码+1

• CPU（中央处理器）=运算器+控制器+寄存器（速度最快）

• BIOS是英文"Basic Input Output System"的缩略语，直译过来后中文名称就是"基本输入输出系统"。其实，它是一组固化到计算机内主板上一个ROM芯片上的程序，它保存着计算机最重要的基本输入输出的程序、系统设置信息、开机后自检程序和系统自启动程序。 其主要功能是为计算机提供最底层的、最直接的硬件设置和控制。

• ROM只读存储器；RAM随机存储器（约为内存）

• cache是高速缓冲存储器，快于RAM （速度：寄存器>cache>RAM>ROM）

• 随机存储器RAM的“随机”指“随时访问”

• 断电后可以保存数据：硬盘，ROM；断电后不可以保存数据：显存（显卡内存），RAM，CPU

• 电子管-晶体管-中小规模集成-大超大规模集成

• LAN 局域网；MAN 城域网；WAN 广域网

• IMAP、POP3、SMTP 电子邮件

• TCP/IP 链路层-网络层-传输层-应用层

• GSM全球移动通信系统;GPRS通用分组无线服务技术;

• OSI七层模型1-7(低到高)

  1.物理层 2.数据链路层:ppp点对点协议 CSMA/CD 3.网络层:IP协议，地址解析协议ARP，网际控制报文协议ICMP,路由选择协议，RIP 4.运输层:用户数据报协议UDP,传输控制协议TCP 5.会话层 6表示层 7.应用层:文件传输协议FTP,HTTP,SMTP

• 1TB=1024GB，1GB=1024MB，1MB=1024KB，1KB=1024B，**1B（字节）=8bit（位）, 1 个像素=2B,\(1GB=2^{10+10+10}=2^{30}\)

算法

• O(1),O(N),O(NlogN),O(n2)等n不在指数为的复杂度为多项式级复杂度，O(N!),O(2n）等复杂度是非多项式级的，可以找到一个多项式级复杂度算法的问题是P问题；一个解可以用多项式级复杂度检验的问题是NP问题

• 逻辑运算律（同集合运算律）：\((A\and C)\or (B\and C)=C\and (A\and B)\)

• 位运算优先级：& ^ |

• 指针最优，单目运算优于双目运算（如正负号），先算术运算，后移位运算，最后位运算。请特别注意：1 << 3 + 2 & 7等价于 (1 << (3 + 2))&7.逻辑运算最后结合。

• 一个问题满足以下两条，它就是NPC问题：1、它是NP问题，2、所有的NP问题都可以约化到它

• 主定理复习：若存在\(k\ge0\)，有\(f(n)=\Theta(n^{log_ba}log_2^kn)\)，则\(T(n)=\Theta(n^{log_ba}log_2^{k+1}n)\)

• 如果操作符在操作数前面，则称为前缀表达式，从后往前用栈阅读

• 十转二：整数部分：不断除以2，直到商为0，倒取各阶段余数；

  小数部分：不断乘以2，直到积为1，正取各阶段整数

  如10.25转化为二进制

  10÷2=5……0

  5÷2=2……1

  2÷2=1……0

  1÷2=0……1

  倒着取余数，1010即为整数部分

  0.25*2=0.5……0

  0.5*2=1……1

  正着取整数，0.01即为小数部分

  将两部分合起来，得到10.25=(1010.01)2

  十转八：计算小数部分时，小数部分每次乘八提取整数，正取各整数

• char: 1字节（8位）
  
  int: 4字节 (32位，取值范围 \(-2^31 ～ 2^31-1\))
  
  unsigned int : 4字节 (32位，取值范围$ 0 ～ 2^{32}-1$)
  
  long: 4字节 (32位，取值范围 \(-2^{31} ～ 2^{31}-1\))
  
  unsigned long : 4字节 (32位，取值范围 \(0 ～ 2^{32}-1\))
  
  long long : 8字节(64位，取值范围 \(-2^{63} ～ 2^{63}-1\))

• 点双连通：某个没有割点的无向图

  边双连通：某个没有割边（桥）的无向图

  双连通分量：图的极大双连通子图（分为点双连通分量和边双联通分量）

• 哈夫曼树的叶子节点个数比非叶子节点个数多一。

• 先序遍历：根-左-右

• 欧拉图：可以一笔画出来的

  一个图是欧拉图的充要条件（无向图）：度为奇数点的点的个数<=2

  有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度

  欧拉环游：通过图中每边恰好一次的闭路径

  欧拉闭迹：通过图中每边恰好一次的路径

• 排序方法	时间复杂度	空间复杂度	稳定性
  快速排序	一般\(O(nlogn)\)，最坏情况下\(O(n^2)\)	\(O(logn)\)	不稳定
  shell 排序（希尔排序）	\(O(n^2)\)	\(O(1)\)	不稳定
  堆排序	\(O(nlogn)\)	\(O(1)\)（直接在原序列上建立堆）	不稳定
  选择排序	\(O(n2)\)	\(O(n)\)	不稳定
  归并排序	\(O(nlogn)\)	\(O(n)\)	稳定
  基数排序	\(O(n)\)	\(O(n)\)	稳定
  插入排序	\(O(n^2)\)	\(O(n)\)	稳定
  冒泡排序	\(O(n^2)\)	\(O(1)\)	稳定

数学

排列组合

\(P_n^k\)从\(n\)中选\(k\)个有多少种排列，\(P_n^k=n\times(n-1)\times\dots\times(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\)

\(C_n^k\)从\(n\)中选\(k\)个有多少种组合，\(C_n^k=\frac{P_n^k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)

捆绑插空分组法

例１ 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数。

(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数。

解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有P(4,4)种不同的排法；第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有P(3,3) 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有P(1,5)种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有\(P(4,4)\times P(3,3)\times P(5,1)\)=720种不同的排法。所以共有720个符合条件的七位数。

解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有P(4,4) 种不同的排法；第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有P(3,5) 种“插入”方法。根据乘法原理共有\(P(4,4)\times P(3,5)＝1440\)种不同的排法。所以共有1440个符合条件的七位数。

例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？

解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法。下面分别计算每一类的方法数：

第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法。解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有C(4,6)种不同的分法。解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有C(1,5) 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以P(2,2)。所以共有\(C(1,6)*C(1,5)/P(2,2) ＝15\)种不同的分组方法。

第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有C(2,5) 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有\(C(1,6)*C(2,5)＝60\)种不同的分组方法。

第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有C(2,6) 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有C(2,4)种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组。由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以P(3,3) ，因此共有\(C(2,6)*C(2,4)/P(3,3) ＝15\)种不同的分组方法。

根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法。

小结：

• ｍ个不同的元素必须相邻，有P(m,m) 种“捆绑”方法。
• ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 P(m,n)种不同的“插入”方法。
• ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有C(m,n)种不同的“插入”方法
• 若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以P(m,m)。

Catalan数

(\(1,1,2,5,14,42,132\))

通项公式：\(H(n)=\frac{C_n^{2n}}{n+1}\)

递推公式：\(H(n)=H(n-1)\times \frac{4n-2}{(n+1)}\)

意义：

• \(n\) 个结点可够造多少个不同的二叉树
• \(n\)个不同的数依次进栈，求不同的出栈结果的种数
• 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数
• 在圆上选择\(2n\)个点，将这些点成对连接起来使得所得到的\(n\)条线段不相交的方法数

容斥定理

被覆盖奇数次的加，偶数次的减

题

2017年10月1日是星期日，1949年10月1日是( )。

其实我们只关心1949-10-1到2017-10-1在过了多少个一周后又零几天

一年有52周=52*7=364天，所以每过一个平年我们过了52周零1天，每过一个闰年我们过了52周零2天

而中间有（2017-1949）/4=17 个闰年

所以我们除了n个整周外零了（2017-1949）+17=85 天=12周…….1天

多过了1天使周日，所以1949-10-1是周六

将7个名额分给4个不同的班级，允许有的班级没有名额，有( )种不同的分配方案。

因为允许为空,所以我们每组都填上1,然后此时我们可以看作是你面前有7+4=11个球，10个空隙,你需要在十个空隙插入三个板子,把十一个球分成四份,要求每个空隙只能有一个板子，且四组都得有一个球,所以就是 \(C(10, 3) = 120\)种

由四个不同的点构成的简单无向连通图的个数是( )

四个点构成连通图最少选3条边（树），最多选\(\frac{4\times3}{2}\)条边（完全图），一共\(\frac{4\times3}{2}\)条边中选择，但注意，不是所有的任选3条边都满足条件，有一种情况是三个点形成一个三角形而孤立一个点，这种情况共有4种，所以\(ans=C(6, 6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,3)-4=38\)

某计算机的 CPU 和内存之间的地址总线宽度是 32 位（bit），这台计算机最多可以使用（ ）GB的内存。

最多使用\(2^{32}\)字节（B）

有 7 个一模一样的苹果，放到 3 个一样的盘子中，一共有（ ）种放法

枚举即可，注意用计排序，算组合即可

有数字1,1,2,4,8,8所组成的不同的四位数的个数

显然 1 开头和 8 开头的方案数相等，2 开头和 4 开头的方案数相同，然后我们可以通过手玩爆枚出 1 开头与 2 开头的方案数，分别为 33 与 18，加起来乘二等于 102

哪个逻辑表达式的值与变量 B 的真假无关？

A. (