HDU 4685 Prince and Princess（二分图+强连通分量）

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4685

题意：给出n个王子和m个公主。每个王子有一些自己喜欢的公主可以匹配。设最大匹配为M。那么对于每个王子，可以选择哪些自己喜欢的公主使得选择之后最大匹配仍为M？

思路：（1）首先，想到的一个方法是先求一次最大匹配。然后枚举每个王子喜欢的公主作为该王子的匹配，判断能否为之前匹配该公主的王子重新找到一个匹配。这样的复杂付太大。

（2）改进：做法是先求一次最大匹配设为cnt，那么左边有n-cnt个王子还未匹配，右边有m-cnt个公主还未匹配，因此我们将左侧增加m-cnt个虚拟王子，虚拟王子与右边所有公主连边；右边增加n-cnt个虚拟公主，虚拟公主与左边所有王子连边，这样我们就得到一个两边各有M=n+m-cnt的二分图，且该二分图是一个完美匹配。也就是每个王子都有一个匹配的公主。现在，我们将每个王子匹配的公主向该王子喜欢的公主连边（建一个新图g），然后求g的强连通分量。那么与每个王子之前匹配的公主在一个强连通分量里的公主都可以作为该王子的匹配使得最大匹配不变。为什么是这样的呢？我们想想（1）中的方法，设王子i之前的匹配为p[i]，现在为王子i选择一个新的公主j，那么我们若能为p[i]重新找到一个王子k，那么实质上就是找到另一个王子互换两个两个王子喜欢的公主。因此两公主若在一个强连通分量里，那么王子由之前的匹配公主A选择公主B时，A也能找到另一个匹配，因为B能够通过某些路径到达A，等价于这条环上所有王子的匹配都后移一个人而已。

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
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#define abs(x) ((x)>=0?(x):-(x))
#define i64 long long
#define u32 unsigned int
#define u64 unsigned long long
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define CLR(x) x.clear()
#define ph(x) push(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define Len(x) x.length()
#define SZ(x) x.size()
#define PI acos(-1.0)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define MP(x,y) make_pair(x,y)
#define EPS 1e-10

#define FOR0(i,x) for(i=0;i<x;i++)
#define FOR1(i,x) for(i=1;i<=x;i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define FORL0(i,a) for(i=a;i>=0;i--)
#define FORL1(i,a) for(i=a;i>=1;i--)
#define FORL(i,a,b)for(i=a;i>=b;i--)

#define rush() int CC;for(scanf("%d",&CC);CC--;)
#define Rush(n)  while(scanf("%d",&n)!=-1)
using namespace std;

void RD(int &x){scanf("%d",&x);}
void RD(i64 &x){scanf("%I64d",&x);}
void RD(u64 &x){scanf("%I64u",&x);}
void RD(u32 &x){scanf("%u",&x);}
void RD(double &x){scanf("%lf",&x);}
void RD(int &x,int &y){scanf("%d%d",&x,&y);}
void RD(i64 &x,i64 &y){scanf("%lld%lld",&x,&y);}
void RD(u32 &x,u32 &y){scanf("%u%u",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y,double &z){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}
void RD(int &x,int &y,int &z){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
void RD(i64 &x,i64 &y,i64 &z){scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);}
void RD(u32 &x,u32 &y,u32 &z){scanf("%u%u%u",&x,&y,&z);}
void RD(char &x){x=getchar();}
void RD(char *s){scanf("%s",s);}
void RD(string &s){cin>>s;}

void PR(int x) {printf("%d\n",x);}
void PR(int x,int y) {printf("%d %d\n",x,y);}
void PR(i64 x) {printf("%lld\n",x);}
void PR(i64 x,i64 y) {printf("%lld %lld\n",x,y);}
void PR(u32 x) {printf("%u\n",x);}
void PR(u64 x) {printf("%llu\n",x);}
void PR(double x) {printf("%.3lf\n",x);}
void PR(double x,double y) {printf("%.5lf %.5lf\n",x,y);}
void PR(char x) {printf("%c\n",x);}
void PR(char *x) {printf("%s\n",x);}
void PR(string x) {cout<<x<<endl;}

void upMin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}
void upMin(i64 &x,i64 y) {if(x>y) x=y;}
void upMin(double &x,double y) {if(x>y) x=y;}
void upMax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
void upMax(i64 &x,i64 y) {if(x<y) x=y;}
void upMax(double &x,double y) {if(x<y) x=y;}

const int mod=1000000007;
const i64 inf=((i64)1)<<60;
const double dinf=1000000000000000000.0;
const int INF=100000000;
const int N=1005;

vector<int> g[N],ans[N];

int dfn[N],low[N],visit[N],num,id,color[N];
stack<int> S;

int n,m;
int G[N][N];
int match[N],X,p[N];
int M;

int DFS(int u)
{
    int i;
    FOR1(i,M) if(G[u][i]&&X!=visit[i])
    {
        visit[i]=X;
        if(match[i]==-1||DFS(match[i]))
        {
            match[i]=u;
            p[u]=i;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

void dfs(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++id;
    S.push(u);
    int i,v;
    FOR0(i,SZ(g[u]))
    {
        v=g[u][i];
        if(!dfn[v])
        {
            dfs(v);
            upMin(low[u],low[v]);
        }
        else if(X!=visit[v])
        {
            upMin(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        num++;
        do
        {
            v=S.top();
            S.pop();
            visit[v]=X;
            color[v]=num;
        }while(u!=v);
    }
}

int main()
{
    int Num=0;
    rush()
    {
        RD(n,m);
        int i,j,k,x;

        clr(G,0);
        FOR1(i,n)
        {
            RD(k);
            while(k--) RD(x),G[i][x]=1;
        }    

        clr(match,-1); clr(p,-1);
        int cnt=0;
        M=m;
        FOR1(i,n) X++,cnt+=DFS(i);
        M=n+m-cnt;
        for(i=n+1;i<=M;i++) FOR1(j,M) G[i][j]=1;
        for(i=m+1;i<=M;i++) FOR1(j,M) G[j][i]=1;
        clr(match,-1); clr(p,-1);
        FOR1(i,M) X++,DFS(i);
        FOR1(i,M) g[i].clear(),ans[i].clear();

        FOR1(i,M)
        {
            FOR1(j,M) if(p[i]!=j&&G[i][j])
            {
                g[p[i]].pb(j);
            }
        }
        clr(dfn,0); X++; id=num=0;
        FOR1(i,M) if(!dfn[i]) dfs(i);
        FOR1(i,n) FOR1(j,m) if(G[i][j]&&color[j]==color[p[i]])
        {
            ans[i].pb(j);
        }
        printf("Case #%d:\n",++Num);
        FOR1(i,n)
        {
            printf("%d",(int)SZ(ans[i]));
            FOR0(k,SZ(ans[i])) printf(" %d",ans[i][k]);
            puts("");
        }
    }
}