[题解] LuoguP2257 YY的GCD
给\(n,m\),让你求
\]
有\(T\)组询问\((T \le 10^4,n,m\le 10^7)\)。
枚举质数\(p\),然后柿子变成
\]
等价于
\]
因为把\(\left\lfloor n/p \right\rfloor,\left\lfloor m/p\right\rfloor\)以内互质的一对数乘上\(p\)就是\(\gcd=p\)的数了。
令\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [\gcd(i,j)=1]\),由于\(\mu\)的性质\([n=1]=\sum\limits_{d\mid n} \mu(d)\),所以
\]
又因为\(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}{d}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor\),所以柿子是
\]
可以枚举\(k=dp\),有
\]
令\(f(n)=\sum\limits_{p\mid n} \mu(\frac{n}{p})\),预处理出\(f\)的前缀和,数论分块就好了。
并不会算预处理的复杂度qwq...
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i)
#define per(i,a,b) for (int i=(a)-1;i>=(b);--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int maxn=1e7,N=maxn+10;
int vis[N],p[N],pn,mu[N],sum[N];
#define ss(l,r) (sum[r]-sum[l-1])
void init(int n) {
mu[1]=1;
rep(i,2,n+1) {
if(!vis[i]) {p[pn++]=i;mu[i]=-1;}
for(int j=0;j<pn&&i*p[j]<=n;j++) {
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
else mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
rep(i,0,pn) for(int j=p[i];j<=n;j+=p[i])
sum[j]+=mu[j/p[i]];
rep(i,1,n+1) sum[i]+=sum[i-1];
}
ll solve(int n,int m) {
int tn=min(n,m); ll ans=0;
for(int l=1,r=0;l<=tn;l=r+1) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*ss(l,r);
}
return ans;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
init(maxn);
int _,n,m;for(scanf("%d",&_);_;_--) {
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%lld\n",solve(n,m));
}
return 0;
}
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