传送门

给\(n,m\),让你求

\[\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m [\gcd(i,j) \in prime]
\]

有\(T\)组询问\((T \le 10^4,n,m\le 10^7)\)。

枚举质数\(p\),然后柿子变成

\[\sum\limits_{p} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [\gcd(i,j)=p]
\]

等价于

\[\sum\limits_{p} \sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor n/p\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor m/p\right\rfloor} [\gcd(i,j)=1]
\]

因为把\(\left\lfloor n/p \right\rfloor,\left\lfloor m/p\right\rfloor\)以内互质的一对数乘上\(p\)就是\(\gcd=p\)的数了。

令\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [\gcd(i,j)=1]\),由于\(\mu\)的性质\([n=1]=\sum\limits_{d\mid n} \mu(d)\),所以

\[\begin{aligned}S(n,m)&=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{d\mid \gcd} \mu(d) \\&= \sum\limits_{d}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^n [d\mid i]\sum\limits_{j=1}^m [d\mid j] \\&= \sum\limits_{d} \mu(d)\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor \frac{m}{d}\right\rfloor\end{aligned}
\]

又因为\(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}{d}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor\),所以柿子是

\[\sum\limits_{p} \sum\limits_{d} \mu(d) \left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor \left\lfloor\frac{m}{dp}\right\rfloor
\]

可以枚举\(k=dp\),有

\[\sum\limits_{k} \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor \left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor\sum\limits_{p\mid k} \mu\left(\frac{k}{p}\right)
\]

令\(f(n)=\sum\limits_{p\mid n} \mu(\frac{n}{p})\),预处理出\(f\)的前缀和,数论分块就好了。

并不会算预处理的复杂度qwq...

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i)
#define per(i,a,b) for (int i=(a)-1;i>=(b);--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI; const int maxn=1e7,N=maxn+10;
int vis[N],p[N],pn,mu[N],sum[N]; #define ss(l,r) (sum[r]-sum[l-1]) void init(int n) {
mu[1]=1;
rep(i,2,n+1) {
if(!vis[i]) {p[pn++]=i;mu[i]=-1;}
for(int j=0;j<pn&&i*p[j]<=n;j++) {
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
else mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
rep(i,0,pn) for(int j=p[i];j<=n;j+=p[i])
sum[j]+=mu[j/p[i]];
rep(i,1,n+1) sum[i]+=sum[i-1];
} ll solve(int n,int m) {
int tn=min(n,m); ll ans=0;
for(int l=1,r=0;l<=tn;l=r+1) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*ss(l,r);
}
return ans;
} int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
init(maxn);
int _,n,m;for(scanf("%d",&_);_;_--) {
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%lld\n",solve(n,m));
}
return 0;
}

[题解] LuoguP2257 YY的GCD的更多相关文章

  1. 题解 P2257 YY的GCD

    P2257 YY的GCD 解题思路 果然数论的题是真心不好搞. 第一个莫比乌斯反演的题,好好推一下式子吧..(借鉴了blog) 我们要求的答案就是\(Ans=\sum\limits_{i=1}^{n} ...

  2. LuoguP2257 YY的GCD

    题目描述 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于 ...

  3. [BZOJ2820]YY的GCD

    [BZOJ2820]YY的GCD 试题描述 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少 ...

  4. 【BZOJ2820】YY的GCD(莫比乌斯反演)

    [BZOJ2820]YY的GCD(莫比乌斯反演) 题面 讨厌权限题!!!提供洛谷题面 题解 单次询问\(O(n)\)是做过的一模一样的题目 但是现在很显然不行了, 于是继续推 \[ans=\sum_{ ...

  5. 【LG2257】YY的GCD

    [LG2257]YY的GCD 题面 洛谷 题解 题目大意: 给定\(n,m\)求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为质数]\). 我们设\(f(x)=[x为 ...

  6. Bzoj 2820: YY的GCD(莫比乌斯反演+除法分块)

    2820: YY的GCD Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x& ...

  7. BZOJ 2820: YY的GCD [莫比乌斯反演]【学习笔记】

    2820: YY的GCD Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1624  Solved: 853[Submit][Status][Discu ...

  8. bzoj 2820 YY的GCD 莫比乌斯反演

    题目大意: 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 这里就抄一下别人的推断过程了 后面这个g(x) 算的方法就是在线性 ...

  9. 【BZOJ】【2820】YY的GCD

    莫比乌斯反演 PoPoQQQ讲义第二题. 暴力枚举每个质数,然后去更新它的倍数即可,那个g[x]看不懂就算了…… 为什么去掉了一个memset就不T了→_→…… /****************** ...

随机推荐

  1. 安卓LED跑马灯 超炫酷的表白神器破解版

    链接:https://pan.baidu.com/s/11Wxll4iLdcEPq0wUBK6Ong 提取码:all4

  2. Kali中文乱码问题

    上面的是用网上介绍的安装组件无法安装,老是提示最后一句:Unable to locate package ...... 后来觉得应该是因为安装Kali时在最后有个选择更新系统的一个配置上,我选择了下面 ...

  3. 使用restTemplate发送post请求,传入参数是在requestBody请求体中,以json形式传输

    @PostMapping public ResponseResult add(User user){ HttpHeaders httpHeaders = new HttpHeaders(); Medi ...

  4. python学习 —— 使用QRCode包生成二维码

    我使用的是python3,最简单的方法就是使用QRCode,如果没有安装QRCode package,那么可以使用下面命令进行安装: pip3 install QRCode 然后,测试一下: from ...

  5. ch8 固定宽度、流式、弹性布局

    假设浏览器窗口设置为1250px:wrapper的宽度为960px:content的宽度为920px:确保了wrapper居中时两边有20px的间距:  secondary的宽度为230px:  pr ...

  6. [Write-up]Mr-Robot

    关于 下载地址 目标:找到3个Key 哔哩哔哩视频. 信息收集 用的是Host-only,所以网卡是vmnet1,IP一直是192.168.7.1/24 nmap -T4 192.168.7.1/24 ...

  7. 三 基于Java动态数组手写队列

    手写队列: package dataStucture2.stackandqueue; import com.lt.datastructure.MaxHeap.Queue; import dataStu ...

  8. Mini_Linux需要搭的环境

    1.bash:ifconfig:command not found sudo yum install -y net-tools 2.如果Linux系统是通过复制得到  需要更改hostname vi ...

  9. 与(&)、非(~)、或(|)、异或(^)

    位运算符主要针对二进制,它包括了:“与”.“非”.“或”.“异或”.从表面上看似乎有点像逻辑运算符,但逻辑运算符是针对两个关系运算符来进行逻辑运算,而位运算符主要针对两个二进制数的位进行逻辑运算.下面 ...

  10. Github版本控制系统

    Git是什么? Git是目前世界上最先进的分布式版本控制系统(没有之一). 特别推荐简单易懂的廖雪锋大神制作的学习教程: https://www.liaoxuefeng.com/wiki/896043 ...