Helvetic Coding Contest 2019 差A3 C3 D2 X1 X2

Helvetic Coding Contest 2019

A2

题意：给一个长度为 n 的01序列 y。认为 k 合法当且仅当存在一个长度为 n 的01序列 x，使得 x 异或 x 循环右移 k 位的 01 串得到 y 。问合法的 k 的个数。 \(n \le 2*10^5\)

key：找规律

考虑如何check一个 k 是否合法。那么对于所有的 i 和 i-k 在模 n 的意义下，如果 y 的第 i 位为 0 则二者必须不同，否则必须相同。这样可以用并查集判断是否合法。实际上是把相同的缩起来后看看是否存在奇环。

仔细观察可以发现实际上只有 i+k*m 这个集合中的点有边，并且形成了一个环，而环的大小就是集合中 1 的个数。

实际上，对于一个 k ，只需要把 1~n 按照模 gcd(k,n) 分成等价类，判断每个等价类中 1 的个数即可。所以只需要对 n 的每个约数做预处理。复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

B2

题意：给一个带权二分图，边权均为 k 。可以加若干个右部点连向所有左部点，边权为 h。求二分图最小权匹配。 \(n \le 1000\)

key：二分图

实际上只有两种情况：全部匹配，花费为 n*h。或者不加新点，花费为匹配数*k。证明比较显然。写这个题主要是当时傻逼了……

E1

题意：给一个带权无向图。定义 \(E_{\max}(c_i)\) 是把第 i 条边的边权最大修改成多大，使得它可能出现在最小生成树中。求 \(E_{\max}(c_1)\)。 \(n \le 10^5\)

key：最小生成树

有一个易证的结论：若某边可以出现在最小生成树中，那么把严格小于该边边权的所有边加入图中，该边的两个端点仍然处于两个联通块中。

E2

题意：对于所有非树边，求上题中的 \(E_{\max}(c_i)\)。保证最小生成树唯一。 \(n \le 10^5\)

key：最小生成树

因为最小生成树唯一，所以还是有一个易证的结论：一条非树边的答案为对应最小生成树的链上最大值。

E3

题意：对于所有边，求上题中的 \(E_{\max}(c_i)\)。 \(n \le 10^5\)

key：最小生成树

首先先看非树边，考虑E2的做法以及它为什么在不唯一时仍然成立：对于做出来的一棵最小生成树，非树边的答案显然是大于等于链上最大值的。如果存在一个最小生成树的形态使得在这条链上的最大值更大，那么显然可以把这条边换掉来得到一个更小权的生成树，矛盾。实际上这表明对于最小生成树的任意形态，两点之间的最大值是不变的（NOIP2013 货车运输）

对于树边其实比较简单：如果在生成树上把这条边去掉，会分成两个联通块，考虑所有连接这两个联通块的边，除去它本身最大的那条边即为答案。换句话说，所有覆盖它的非树边中最小的即为答案。这可以用并查集简单的维护。