「Luogu P2468 [SDOI2010]粟粟的书架」

这道题分为两个部分

Part1

前置芝士

1. 前缀和(后缀和,二维前缀和):可以预处理一下数据.
2. 二分查找:可以在较短的时间内找出答案.

具体做法

可以发现\(R,C\)不大,只有\(200\),于是可以先预处理出一个数组\(a[i][j][k]\),表示从\((1,1)\)~\((i,j)\)中高度为k的书出现的次数,也可以理解为一个二维前缀和,考虑贪心,所以肯定是会优先去拿高的书,于是需要再处理两个数组\(b[i][j][k]\),表示\((1,1)\)~\((i,j)\)中高度在\(k\)~\(1000\)的范围内的书的出现次数,就是在\(a\)数组的基础上加上一个后缀和,以及\(c[i][j][k]\),表示\((1,1)\)~\((i,j)\)中高度在\(k\)~\(1000\)的范围内的书的总高度,处理方法和\(b\)数组类似.这样就可以在\(O(1)\)的复杂度计算出拿取规定区域内的书中高度在\(k\)~\(1000\)的范围内的书的总高度和本数,计算方法与二维前缀和计算矩阵和类似(写这种题应该不会有人不会吧).接下来可以用一个二分,很快速得计算出需要取从多少高度开始的书,但是,这样计算出来的不是答案,这个高度的书未必就一定会全部取完,所以还需要将那些多取的书减去.

代码

long long arr[233][233][1024];
int num[233][233][1024];
long long sum[1024];
long long Get(int fx,int fy,int lx,int ly,int num)//计算从(fx,fy)~(lx,ly)中num~1000的高度的书的高度和
{
	//计算方法为一个简单的容斥,如果实在不能理解建议先做一下P3138
	return arr[lx][ly][num]-arr[fx-1][ly][num]-arr[lx][fy-1][num]+arr[fx-1][fy-1][num];
}
int GetCnt(int fx,int fy,int lx,int ly,int top)//计算从(fx,fy)~(lx,ly)中top~1000的高度的书的本书
{
	return num[lx][ly][top]-num[fx-1][ly][top]-num[lx][fy-1][top]+num[fx-1][fy-1][top];
}
void Cry()//没法摘到苹果...
{
	printf("Poor QLW\n");
}
void Solve1()//解决第一部分
{
	scanf("%d",&T);
	int high;
	REP(i,1,N)
	{
		REP(j,1,1000)//先清空这个一维的前缀
		{
			sum[j]=0;
		}
		REP(j,1,M)
		{
			scanf("%d",&high);
			sum[high]++;//在一维前缀中++
			REP(k,1,1000)//当前的每个数出现的次数为这个位置上面的每个数出现的次数+这个一维前缀中每个数出现的次数
			{
				arr[i][j][k]=arr[i-1][j][k]+sum[k];
			}
		}
	}
	REP(i,1,N)
	{
		REP(j,1,M)
		{
			DOW(k,1000,1)
			{
				num[i][j][k]=num[i][j][k+1]+arr[i][j][k];//计算出k~1000中的数总共出现的次数
				arr[i][j][k]=arr[i][j][k+1]+arr[i][j][k]*k;//计算出k~1000中的数总共的高度
			}
		}
	}
	int fx,fy,lx,ly,left,right,middle,answer,tot;
	long long need,p;
	REP(i,1,T)
	{
		scanf("%d%d%d%d%lld",&fx,&fy,&lx,&ly,&need);
		if(Get(fx,fy,lx,ly,1)<need)//如果总共的高度也达不到要求自然是摘不到苹果了
		{
			Cry();
		}
		else
		{
			left=1,right=1000;//这是一个二分
			while(left<=right)
			{
				middle=(right+left)>>1;
				if(Get(fx,fy,lx,ly,middle)>=need)
				{
					answer=middle;//记录答案
					left=middle+1;
				}
				else
				{
					right=middle-1;
				}
			}
			tot=GetCnt(fx,fy,lx,ly,answer);//找到总共的出现次数
			p=Get(fx,fy,lx,ly,answer);
			while(p-answer>=need)//answer的值未必全部取,所以可能需要减去几个
			{
				p-=answer;
				tot--;
			}
			printf("%d\n",tot);//输出答案
		}
	}
}

Part2

前置芝士

1. 主席树:这可能才是本题的考点吧.

具体做法

在做本题前,建议先完成P3834,如果写过这道题那么思如应该会很清晰,用主席树维护一下前缀每个数出现的次数以及总高度,然后主席树上二分一下,然后...就没有然后了,几乎就是一个模板题了.

代码

int top=1000;
int root[maxN];
struct Tree
{
	int sum,lson,rson;
	long long sum_;
}tree[maxN*32];
int point_cnt=0;
//主席树标准define
#define LSON tree[now].lson
#define RSON tree[now].rson
#define MIDDLE ((left+right)>>1)
#define LEFT LSON,left,MIDDLE
#define RIGHT RSON,MIDDLE+1,right
#define NEW_LSON tree[new_tree].lson
#define NEW_RSON tree[new_tree].rson
void PushUp(int now)
{
	tree[now].sum=tree[LSON].sum+tree[RSON].sum;
	tree[now].sum_=tree[LSON].sum_+tree[RSON].sum_;
}
void Updata(int num,int &new_tree,int now,int left=1,int right=top)//主席树修改,从now到new_tree这颗新的线段树中
{
	if(num<left||right<num)
	{
		new_tree=now;
		return;
	}
	new_tree=++point_cnt;
	if(left==right)
	{
		tree[new_tree].sum=tree[now].sum+1;//出现的次数+1
		tree[new_tree].sum_=tree[now].sum_+num;//总共高度加num
		return;
	}
	Updata(num,NEW_LSON,LEFT);//继续修改
	Updata(num,NEW_RSON,RIGHT);
	PushUp(new_tree);//合并
}
#define SUM tree[now].sum-tree[cut].sum
#define SUM_ tree[now].sum_-tree[cut].sum_
int Query(long long need,int cut,int now,int left=1,int right=top)//查询
{
	if(need<=0)//如果需要的小于等于0自然就是0了
	{
		return 0;
	}
	if(SUM_<=need)//如果需要的大于总共的则全部返回
	{
		return SUM;
	}
	if(left==right)//到也节点处理需要特殊一点
	{
		if(need%left==0)//如果可以除尽
		{
			return need/left;//直接返回
		}
		else
		{
			return need/left+1;//不可以则需要加1
		}
	}
	return Query(need,											tree[cut].rson,RIGHT)//优先找大的,所以先找右子树
		  +Query(need-tree[RSON].sum_+tree[tree[cut].rson].sum_,tree[cut].lson,LEFT);//在查找左子树的时候need需要减去右子树的部分
}
void Solve2()
{
	scanf("%d",&T);
	int num;
	REP(i,1,M)
	{
		scanf("%d",&num);
		Updata(num,root[i],root[i-1]);//直接建树,维护前缀每个数出现的次数和总共高度
	}
	int left,right;
	long long need;
	int air;//没有用的数
	REP(i,1,T)
	{
		scanf("%d%d%d%d%lld",&air,&left,&air,&right,&need);
		if(tree[root[right]].sum_-tree[root[left-1]].sum_<need)//如果摘不到
		{
			Cry();
		}
		else
		{
			printf("%d\n",Query(need,root[left-1],root[right]));//输出答案
		}
	}
}