POJ2182 Lost Cows 题解

题目

有$N$($2 <= N <= 8,000$)头母牛,每头母牛有自己的独一无二编号($1..N$).

现在$N$头母牛站成一列,已知每头母牛前面编号比它小的母牛数量,求每头母牛的编号.

输入格式

第1行 : 一个整数 $N$

第2..N行 : 从第2头母牛到第N头母牛的前面编号比它小的母牛数量

输入样例

输出样例

题解

先手造一组数据

2 1 5 4 3  // 编号序列

设比第$i$头牛前面比它编号小的牛的数量为$A_i$,编号为$B_i$

可以发现,最后一头牛编号为3,前面有2头编号比它小的牛.因为所有编号比它小的点都在前面,所以,$B_N=A_N+1$

同理,对于倒数第二头牛

若$A_{N-1}<A_N$,则$B_{N-1}=A_{N-1}+1$,唯一在它后面的第$N$头牛编号比它大,所以所有编号比它小的点都在前面,例如 :

3 4 2 1 5 // 编号序列

因为$0=A_4<A_5=4$,则$B_4=A_4+1=0+1=1$

若$A_{N-1}>A_N$,则$B_{N-1}=A_{N-1}+2$,相比第一条,最后一头牛编号也比它小,额外加上1,例如 :

3 4 2 5 1  // 编号序列

因为$3=A_4>A_5=0$,则$B_4=A_4+2=3+2=5$

因为第i头牛前面有$A_i$头牛编号比它小,所以$B_i$至少是$A_i+1$(也就是从第$1$到第$i-1$头牛都在这头牛的前面的情况),如果后面的牛还有比它小的,那么这头牛的编号又要增加,所以$B_i$为$1..N$中去掉$B_{i+1}$..$B_N$中的数后从前往后的第$A_i+1$个数

建立一个长度为$N$的数组c,初始化为$1$

因为要去掉后面的数,所以从后往前扫描$A_i$,对于每个$A_i$,查询该数组中第$A_i+1$个"1"的位置,此位置的下标就是$B_i$,然后$c[B_i]=0$,这是在去掉$B_{i+1}$..$B_N$中的数

使用样例数据模拟一遍

 0 1 2 1 0  // A序列(省略A[0])

开始扫描

 1 1 1 1 1  // c数组(省略c[0])

第一次 : $A_5=0$,第$0+1$个"1"的下标为$1$,则$B_5=1$

[0]1 1 1 1  // c数组(省略c[0])

第二次 : $A_4=1$,第$1+1$个"1"的下标为$3$,则$B_4=3$

 0 1[0]1 1  // c数组(省略c[0])

第三次 : $A_3=2$,第$2+1$个"1"的下标为$5$,则$B_3=5$

 0 1 0 1[0] // c数组(省略c[0])

第四次 : $A_2=3$,第$3+1$个"1"的下标为$4$,则$B_2=4$

 0 1 0[0]0  // c数组(省略c[0])

第五次 : $A_1=0$,第$0+1$个"1"的下标为$2$,则$B_1=2$

将B数组顺序输出出来即可

至于怎么求第$A_i+1$个"1",就需要使用树状数组维护c数组的前缀和,每次查询时使用二分

代码

// Memory       :704 KB

// Time         :94 MS

// Code Length  :965 B

#include <cstdio>

#include <iostream>

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

using namespace std;

const int N = 8005;

int n, a[N], c[N], h[N];

void add(int x) {

    while (x <= n) {

        c[x]--;

        x += lowbit(x);

    }

}

int ask(int x) {

    int ans = 0;

    while (x) {

        ans += c[x];

        x -= lowbit(x);

    }

    return ans;

}

int main() {

    scanf("%d",&n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        // 初始化树状数组

        c[i]++;

        if (i + lowbit(i) <= n) c[i + lowbit(i)] += c[i];

    }

    a[1] = 1;  // 本来为0,提前加1

    for (int i = 2; i <= n; i++) {

        scanf("%d", &a[i]);

        a[i]++; //提前加1

    }

    for (int i = n; i; i--) {

        // 二分

        int l = 1, r = n;

        while (l < r) {

            int mid = (l + r) >> 1;

            if (ask(mid) < a[i]) l = mid + 1;

            else r = mid;

        }

        // 记录答案,并更新树状数组

        add(h[i] = l);

    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", h[i]);

    return 0;

}