并查集:按秩合并 $n$ 个点所得树高不超过 $\lfloor\log n \rfloor$
用 $h_n$ 表示按秩合并 $n$ 个点所得树的最大高度。
有 $h_1 = 0, h_2 = 1, h_3 = 1, h_4 = 2, h_5 = 2, \dots$
有如下地推:
\[ h_n = \max_{1\le i\le n-1} \max(h_i, h_{n-i}) + [h_i = h_{n-i} ]\]
因此有
$h_{n+1} \ge h_n$
$h_{2n} \ge h_n + 1$
可以证明 $h_n = \lfloor \log n\rfloor$
对 $n$ 用数学归纳法。
\begin{aligned}
h_n &= \max_{1\le i \le n/2} h_{n-i} + [h_i = h_{n-i}] \\
&= \max_{1\le i \le n/2} \lfloor \log (n-i) \rfloor + [\lfloor\log i \rfloor = \lfloor \log(n-i)\rfloor]
\end{aligned}
设 $n = 2^k + i$,其中 $0\le i < 2^k$
$ \lfloor\log i \rfloor = \lfloor \log(n-i)\rfloor \implies \lfloor\log i \rfloor = \lfloor \log(n-i)\rfloor = k-1$
故 $h_n = \max(k, h_{n-1}) = k = \lfloor \log n\rfloor$
并查集:按秩合并 $n$ 个点所得树高不超过 $\lfloor\log n \rfloor$的更多相关文章
- BZOJ4668: 冷战 [并查集 按秩合并]
BZOJ4668: 冷战 题意: 给定 n 个点的图.动态的往图中加边,并且询问某两个点最早什 么时候联通,强制在线. 还可以这样乱搞 并查集按秩合并的好处: 深度不会超过\(O(\log n)\) ...
- BZOJ4025 二分图 分治 并查集 二分图 带权并查集按秩合并
原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8683831.html 题目传送门 - BZOJ4025 题意 有$n$个点,有$m$条边.有$T$个时间段.其中 ...
- bzoj4668: 冷战 并查集按秩合并
题目链接 bzoj4668: 冷战 题解 按秩合并并查集,每次增长都是小集合倍数的两倍以上,层数不超过logn 查询路径最大值 LCT同解 代码 #include<bits/stdc++.h&g ...
- bzoj 4668 冷战 —— 并查集按秩合并
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4668 按秩合并维护并查集的树结构,然后暴力找路径上的最大边权即可. 代码如下: #inclu ...
- NOIP2013 D1T3 货车运输 倍增LCA OR 并查集按秩合并
思路: Kruskal求最大生成树+倍增LCA // by SiriusRen #include <cstdio> #include <cstring> #include &l ...
- HDU1865--More is better(统计并查集的秩(元素个数))
More is better Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 327680/102400 K (Java/Others) ...
- 【bzoj4668】冷战 并查集按秩合并+朴素LCA
题目描述 1946 年 3 月 5 日,英国前首相温斯顿·丘吉尔在美国富尔顿发表“铁幕演说”,正式拉开了冷战序幕. 美国和苏联同为世界上的“超级大国”,为了争夺世界霸权,两国及其盟国展开了数十年的斗争 ...
- Dash Speed【好题,分治,并查集按秩合并】
Dash Speed Online Judge:NOIP2016十联测,Claris#2 T3 Label:好题,分治,并查集按秩合并,LCA 题目描述 比特山是比特镇的飙车圣地.在比特山上一共有 n ...
- 【BZOJ-4668】冷战 并查集 + 按秩合并 + 乱搞
4668: 冷战 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 37 Solved: 24[Submit][Status][Discuss] Des ...
随机推荐
- Gym - 100676H Capital City(边强连通分量 + 树的直径)
H. Capital City[ Color: Black ]Bahosain has become the president of Byteland, he is doing his best t ...
- Bootstrap历练实例:警告框(Alert)插件事件
事件 下表列出了警告框(Alert)插件中要用到的事件.这些事件可在函数中当钩子使用. 事件 描述 实例 close.bs.alert 当调用 close 实例方法时立即触发该事件. $('#myal ...
- C#进阶之全面解析Lambda表达式
引言 在实际的项目中遇到一个问题,我们经常在网上搜索复制粘贴,其中有些代码看着非常的简洁,比如Lambda表达式,但是一直没有去深入了解它的由来,以及具体的使用方法,所以在使用的时候比较模糊,其次,编 ...
- Servlet 学习小结
一.是什么 是用java编写的服务器端程序.从狭义来讲,servlet是java语言实现的一个接口:广义的servlet是指任何实现了这个servlet接口的类.一般情况下,人们将servlet理解为 ...
- tomcat的启动和部署
方法/步骤 1 一.安装JDK和Tomcat 1,安装JDK:直接运行jdk-7-windows-i586.exe可执行程序,默认安装即可. 备注:路径可以其他盘符,不建议路径包含中文名及特殊符号. ...
- mysql -u root -p 解释
使用此命令首先确保你的mysql运行环境已经搭建好 这是客户端连接mysql服务器的指令,比较全的写法是下面两种 第一个是全拼,第二个是第一个的缩写 mysql --host=localhost -- ...
- 微信小游戏 demo 飞机大战 代码分析 (二)(databus.js)
微信小游戏 demo 飞机大战 代码分析(二)(databus.js) 微信小游戏 demo 飞机大战 代码分析(一)(main.js) 微信小游戏 demo 飞机大战 代码分析(三)(spirit. ...
- 麦子学院python开发全套完整无加密课程
点击了解更多Python课程>>> 麦子学院python开发全套完整无加密课程 第一阶段:Python基础准备 1.Web前端开发之HTML+CSS基础入门 2.Javascript ...
- h5获取摄像头拍照功能
完整代码展示 <!DOCTYPE html> <head> <title>HTML5 GetUserMedia Demo</title> <met ...
- 菜鸟学Linux - 设置文件/文件夹的权限
在Linux中,我们可以对文件或文件夹设置权限(r,w,x,-).然而,对文件和文件夹的权限设置,具有不同的意义.下面,通过几个例子来了解一下权限的意义所在.在开始之前,我们需要了解几个修改权限的命令 ...