[ZJOI 2010] 排列计数

[题目链接]

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2111

[算法]

一种比较好的理解方式是将该序列看成是一棵堆式存储的二叉树

那么问题转化为求有多少个堆

考虑dp , 用fi表示以i为根的子树能构成多少个堆

根结点显然是最小的数 ， 我们要在剩余的(sizei - 1)个数中选出size(2i)个数 ， 然后分配至左右子树中

显然 ， fi = C(sizei - 1 , size(2i)) * f(2i) * f(2i + 1)

预处理阶乘和逆元 ， 用lucas定理求组合数即可

时间复杂度 : O(N)

[代码]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 2e6 + ;

int n , P;
int fac[N] , inv[N] , size[N];

template <typename T> inline void chkmax(T &x,T y) { x = max(x,y); }
template <typename T> inline void chkmin(T &x,T y) { x = min(x,y); }
template <typename T> inline void read(T &x)
{
    T f = ; x = ;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << ) + (x << ) + c - '';
    x *= f;
}
inline int exp_mod(int a , int n)
{
        int res =  , b = a;
        while (n > )
        {
                if (n & ) res = 1ll * res * b % P;
                b = 1ll * b * b % P;
                n >>= ;
        }
        return res;
}
inline void init()
{
        fac[] = ;
        for (int i = ; i <= min(n , P - ); i++) fac[i] = 1ll * fac[i - ] * i % P;
        inv[min(n , P - )] = exp_mod(fac[min(n , P - )] , P - );
        for (int i = min(n , P - ) - ; i >= ; i--) inv[i] = 1ll * inv[i + ] * (i + ) % P;
}
inline int C(int x , int y)
{
        if (!y) return ;
        if (x == y) return ;
        if (x < y) return ;
        return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
inline int lucas(int x , int y)
{
        if (!y) return ;
        if (x < P && y < P) return C(x , y);
        return 1ll * lucas(x / P , y / P) * C(x % P , y % P) % P;
}
inline int dp(int u)
{
        if (u > n) return ;
        return 1ll * lucas(size[u] -  , size[u << ]) * dp(u << ) % P * dp(u <<  | ) % P;
}

int main()
{

        read(n); read(P);
        init();
        for (int i = ; i <= n; i++) size[i] = ;
        for (int i = n; i >= ; i--) size[i >> ] += size[i];
        printf("%d\n" , dp());

        return ;

}