快速排序的最优时间复杂度是 \(O(nlogn)\),最差时间复杂度是 \(O(n^2)\),期望时间复杂度是 \(O(nlogn)\)。

这里我们证明一下快排的期望时间复杂度。

设 \(T(n)\) 为对长度为 \(n\) 的序列进行快速排序所需要的期望时间。我们有:

\[T(0) = 0\]

以及: \[T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))\]

我们可以通过放缩来获得对 \(T(n)\) 上界的一个估计。

\[T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))\]
\[ = n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))\]
\[ = n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1)) \]

因为 \(T(n) >= n\) , 所以对于 \(\frac{n}{2} <= i <= j\),我们显然有:

\[T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)\]

所以:

\[T(n) <= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))\]
\[<= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1) \]

我们要证明 \(T(n) = O(nlogn)\) , 这需要证明存在常数 \(c\) 满足 \(T(n) <= cnlogn\)。

我们考虑用数学归纳法证明。\(n = 0\)时定理显然成立。现在假设对于 \(m <= n\) 定理皆成立。那么:

\[T(n) <= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1) \]

\[<= n +\frac{1}{2}(c(\frac{3n}{4})log(\frac{3n}{4}) + c(\frac{n}{4})log(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}c(n-1)log(n-1)\]

\[<= n +c(\frac{3n}{8}log(n) - \frac{3n}{8}log(\frac{4}{3}) + \frac{n}{8}log(n) - \frac{n}{8}log(4) + \frac{n}{2}log(n))\]

\[= cnlogn + n(1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4})\]

当 \(1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4} <= 0\) 时,也即约 \(c >= \frac{5}{2}\),我们有:

\[T(n) <= cnlogn\].

归纳成立,\(T(n) = O(nlogn)\).

快速排序的期望复杂度O(nlogn)证明。的更多相关文章

  1. 建堆复杂度O(n)证明

    堆排序中首先需要做的就是建堆,广为人知的是建堆复杂度才O(n),它的证明过程涉及到高等数学中的级数或者概率论,不过证明整体来讲是比较易懂的. 堆排过程 代码如下 void print(vector&l ...

  2. 快速排序原理、复杂度分析及C语言实现

    本文作者华科小涛:@http://www.cnblogs.com/hust-ghtao/,参考<算法导论>,代码借用<剑指offer> 快速排序是一种最坏情况时间复杂度为的排序 ...

  3. 改进版高速排序(平均复杂度O(NlogN))

    #include<iostream> using namespace std; #define MAXSIZE 21 typedef int SqList[MAXSIZE]; #defin ...

  4. ZROI 19.08.03 分治与离线

    经典问题,给一张图,支持加边/删边/询问两点连通性. 离线统计边权(删除时间),lct维护最大生成树即可. 也可以按时间分治,维护一个可回退并查集即可. 主定理 很好用,但是记不住. 有一种简明的替代 ...

  5. 算法初步(julyedu网课整理)

    date: 2018-11-19 13:41:29 updated: 2018-11-19 14:31:04 算法初步(julyedu网课整理) 1 O(1) 基本运算 O(logn) 二分查找 分治 ...

  6. COGS 2421.[HZOI 2016]简单的Treap 题解

    题目大意: 给定n个数及其优先级,求对应的符合最小堆性质的Treap的先序遍历. n<=500000. 解法: 目前为止我只想到了三种解法,其中第三种是正解. 1.暴力1 以优先级为关键字排序, ...

  7. 「LuoguP3252」 [JLOI2012]树

    Description 在这个问题中,给定一个值S和一棵树.在树的每个节点有一个正整数,问有多少条路径的节点总和达到S.路径中节点的深度必须是升序的.假设节点1是根节点,根的深度是0,它的儿子节点的深 ...

  8. 快速排序时间复杂度为O(n×log(n))的证明

    快速排序时间复杂度为O(n×log(n))的证明 之前只知道快速排序的平均时间复杂度为O(n×log(n)),最糟糕时复杂度为O(n^2),但却不知道具体原因,今天好好证明一下,最后部分摘自<算 ...

  9. 三角形问题的解决复杂度O(n^3)和O(nlogn)的比较

    问题描述: n条棍子组成一个三角形,使得三角形周少最大. 方法一: 暴力解则算法复杂度为O(n^3) #include<stdio.h> const int MAX_N=105 int m ...

随机推荐

  1. COGS——T 1215. [Tyvj Aug11] 冗余电网

    http://www.cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1215 ★   输入文件:ugrid.in   输出文件:ugrid.out   简单对比时间限制: ...

  2. ArcGIS api for javascript——渲染-使用唯一值渲染

    描述 本例使用唯一值渲染器来作为美国的符号.每个州有一个字符串属性"SUB_REGION"表示它的国家的地区.UniqueValueRenderer.addValue()方法被用来 ...

  3. hadoop(八) - sqoop安装与使用

    一. sqoop安装: 安装在一台节点上就能够了. 1. 使用winscp上传sqoop 2. 安装和配置 加入sqoop到环境变量 将数据库连接驱动mysql-connector-5.1.8.jar ...

  4. ADO.NET数据读取封装

    public class sqlserver { //private string sqlstr = System.ConfigurationManager.ConnectionStrings[&qu ...

  5. c# 导出excel格式xlsx

    string sb="";//sql字符串 AttachmentConfigSection configSection = ConfigurationManager.GetSect ...

  6. cf 864 F. Cities Excursions

    F. Cities Excursions There are n cities in Berland. Some pairs of them are connected with m directed ...

  7. CodeBlocks 配色方案

    搜索<colour_sets>,在</ACTIVE_LANG>下加入: 有几种经典方案,包括vim,desert,sublime,ulipad,oblivion,darkgra ...

  8. rman 备份并异机恢复

    1.RMAN 备份脚本 RUN { CONFIGURE RETENTION POLICY DAYS; CONFIGURE CONTROLFILE AUTOBACKUP ON; CONFIGURE CO ...

  9. mysql的my.cnf文件详解

    一.缘由 最近要接手数据库的维护工作,公司首选MySQL.对于MySQL的理解,我认为很多性能优化工作.主从主主复制都是在调整参数,来适应不同时期不同数量级的数据. 故,理解透彻my.cnf里的参数是 ...

  10. python3 类、对象的基础概念

    类:具有相同特性和方法的抽象概念称为类 对象:从类中具体描述的一个事物称为对象 类和对象的关系:类是对象的抽象概念,对象是类的具体实例 class test001: #创建类 def __init__ ...