poj1639 Picnic Planning，K度限制生成树

题意：

矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，车大到能够装下不管多少矮人。某天，N(N≤20)个矮人打算到野外聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A 要么开车到矮人B 家中，留下自己的轿车在矮人B 家，然后乘坐B 的轿车同行；要么直接开车到聚餐地点，并将车停放在聚餐地。尽管矮人的家非常大，能够停放无数量轿车，可是聚餐地点却最多仅仅能停放K 辆轿车。给你一张加权无向图，描写叙述了N 个矮人的家和聚餐地点，求出全部矮人开车最短总路程。





单点K度限制最小生成树

算法步骤：

1.求出除去K度点的最小生成森林，设森林数为m

2.将这m棵树与K度点用每棵树中与K度点距离最短的点相连，生成一个m度最小生成树，总答案为这个生成树的全部边长之和

3.迭代k-m次，尝试将m度生成树扩展为K度生成树，并求出最小生成树的长度

   (1)扫描k度点的全部邻接点，（注意，这是扫描的原图） 找到一个点使得(新的生成树中该点到K度点最大边的长度)与（原图中K度点到该点的距离)之差最大。 (注意，该点         不能是生成树中直接与K度点相连的点)

   (2) 若（1）找出的差值不大于0，则无须继续往下找，否则，在新的生成树中连接该点到K度点，并将最大边替换掉，然后从该点開始更新最大边。此时，m度生成树变为           m+1度生成树，总答案减去该差值。

   (3)循环以上步骤，直到变为K度生成树或者跳出

1. 先求出最小 m 度限制生成树：原图中去掉和 V0 相连的全部边（能够事先存两个图， Ray 的方法是一个邻接矩阵，一个邻接表，用方便枚举边的邻接表来构造新图），得到 m 个连通分量，则这 m  个连通分量必须通过 v0 来连接，所以，在图 G 
的全部生成树中 dT(v0)≥m 。也就是说，当 k<m 时，问题无解。对每一个连通分量求一次最小生成树（哪个算法都行），对于每一个连通分量 V’ ，用一条与 V0 直接连接的最小的边把它与 V0 点连接起来，使其总体成为一个生成树。于是，我们就得到了一个 m 度限制生成树，不难证明，这就是最小 m 度限制生成树。 

2. 由最小 m 度限制生成树得到最小 m+1 度限制生成树;：连接和 V0 相邻的点 v ，则能够知道一定会有一个环出现（由于原来是一个生成树），仅仅要找到这个环上的最大权边（不能与 v0 点直接相连）并删除，就能够得到一个 m+1 度限制生成树，枚举全部和
V0 相邻点 v ，找到替换后，添加权值最小的一次替换 (当然，找不到这种边时，就说明已经求出) ，就能够求得 m+1 度限制生成树。。假设每加入一条边，都须要对环上的边一一枚举，时间复杂度将比較高（但这个题数据比較小，所以这样也没问题，其实，直接枚举都能过这个题），这里，用动态规划解决。设   Best(v) 为路径 v0—v 上与 v0 无关联且权值最大的边。定义 father(v) 为 v 的父结点，由此能够得到动态转移方程： Best(v)=max(Best(father(v)),ω(father(v),v))
，边界条件为 Best[v0]=-∞ (由于我们每次寻找的是最大边，所以 -∞ 不会被考虑) ，Best[v’]=-∞| (v0,v’)∈E(T) 。

3. 当 dT(v0)=k 时停止(即当 V0 的度为 k 的时候停止)，但不一定 k 的时候最优。

#include <map>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxm = 100005;
const int INF = 1e9;

struct node
{
    int v, w, next;
}edge[maxm];

struct Edge
{
    int u, v, w;
    Edge(){}
    Edge(int u, int v, int w):u(u),v(v),w(w){}
}mx[maxn];//用于存储每一个点到park点的最大边

int n, m, k, sum;//sum为结果
int e, head[maxn], vis[maxn], dis[maxn], use[maxn][maxn];
//head用于邻接表 vis是标记数组 dis用于求最小生成树 use用来标记两点之间是否有边
int blocks, size[maxn], belong[maxn], pre[maxn];
//blocks表示去除park后有几个连通块  size是每一个连通块的个数 belong表示该点属于哪个连通块  pre用于在生成树中记录边
int point[maxn], link[maxn]; //point表示每一个连通块中与park点近期的点  link则是该点与park点的距离
map<string, int>mp; //用于映射名字

void init()
{
    e = 0, n = 1;
    blocks = 0, sum = 0;
    memset(head, -1, sizeof head );
    memset(vis, 0, sizeof vis );
    memset(size, 0, sizeof size );
    memset(use, 0, sizeof use );
    for(int i = 1; i < maxn; i++) mx[i].w = 0;
    memset(pre, 0, sizeof pre );
    mp.clear();
}

void insert(int x, int y, int w)
{
    edge[e].v = y;
    edge[e].w = w;
    edge[e].next = head[x];
    head[x] = e++;
}

int getId(char s[])
{
    if(mp.find(s) == mp.end()) mp[s] = ++n;
    return mp[s];
}

void dfs(int v) //该dfs将图分成了一些连通块
{
    vis[v] = 1;
    size[blocks]++;
    belong[v] = blocks;
    for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next)
        if(!vis[edge[i].v]) dfs(edge[i].v);
}
void prim(int cur) //对某个连通块求最小生成树
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
    for(int i = 1; i <= n; i++) //设置块内某点为起点来求生成树
        if(belong[i] == cur)
        {
            dis[i] = 0;
            break;
        }
    for(int i = 1; i <= size[cur]; i++)  //循环次数为该块的顶点数，由于这与一般的求MST稍微不同
    {
        int mi = INF, pos = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(pre[j] != -1 && mi > dis[j])
                mi = dis[j], pos = j;
        if(pos != -1)
        {
            sum += mi;
            use[pos][pre[pos]] = use[pre[pos]][pos] = 1; //标记生成树中所用的边
            pre[pos] = -1;
            for(int j = head[pos]; j != -1; j = edge[j].next)
                if(pre[edge[j].v] != -1 && dis[edge[j].v] > edge[j].w)
                {
                    dis[edge[j].v] = edge[j].w;
                    pre[edge[j].v] = pos;
                }
        }
    }
}

void getMax(int v, int fa, int w) //该函数用于更新新的生成树中点到park点的最大边
{
    pre[v] = fa;
    if(mx[fa].w > w) mx[v] = mx[fa];
    else mx[v] = Edge(v, fa, w);
    for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next)
        if(use[v][edge[i].v] && edge[i].v != fa) getMax(edge[i].v, v, edge[i].w); //必须是生成树中的边而且不是回边才往下搜
}

void GetMdegreeMST()
{
    vis[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) //求连通块
        if(!vis[i])
        {
            blocks++;
            dfs(i);
        }
    pre[1] = -1;
    for(int i = 1; i <= blocks; i++) prim(i);
    for(int i = 1; i <= n; i++) link[i] = INF;
    for(int i = head[1]; i != -1; i = edge[i].next)  //生成一棵m度的生成树
        if(link[belong[edge[i].v]] > edge[i].w)
        {
            link[belong[edge[i].v]] = edge[i].w;
            point[belong[edge[i].v]] = edge[i].v;
        }
    for(int i = 1; i <= blocks; i++) //将park点与每一个连通块中与其近期的点相连，而且标记边
    {
        sum += link[i];
        use[1][point[i]] = use[point[i]][1] = 1;
    }
}

void slove()
{
    int degree = blocks;
    getMax(1, 0, 0); //首先从park点出发求一遍最大边
    while(degree < k) //尝试迭代 k - degree次
    {
        int maxval = 0, pos = 0, w;
        for(int i = head[1]; i != -1; i = edge[i].next) //用于找到差值最大的点
            if(!use[1][edge[i].v] && mx[edge[i].v].w - edge[i].w > maxval)
            {
                maxval = mx[edge[i].v].w - edge[i].w, pos = edge[i].v;
                w = edge[i].w;
            }
        if(!pos) break;
        sum -= maxval;//更新答案
        degree++;
        use[mx[pos].u][mx[pos].v] = use[mx[pos].v][mx[pos].u] = 0;//将最大边删除
        use[1][pos] = use[pos][1] = 1;
        getMax(pos, 1, w);//更新最大边
    }
}

int main()
{
    char s1[55], s2[55];
    int w;
    scanf("%d", &m);
    init();
    mp["Park"] = 1;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%s%s%d", s1, s2, &w);
        insert(getId(s1), getId(s2), w);
        insert(getId(s2), getId(s1), w);
    }
    scanf("%d", &k);
    GetMdegreeMST();
    slove();
    printf("Total miles driven: %d\n", sum);
    return 0;
}