Codeforces 1163E Magical Permutation [线性基，构造]

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思路

我顺着图论的标签点进去的，却没想到……

可以发现排列内每一个数都是集合里的数异或出来的。

考虑答案的上界是多少。如果能用小于\(2^k\)的数构造出\([0,2^k-1]\)内所有的数，那么答案就对这个\(k\)取\(\max\)。很显然这一定是上界。

考虑能不能构造出一组解。把\([1,2^k-1]\)的数拎出来插入线性基里得到一组极大线性无关组，那么显然它的\(size\)就是\(k\)。由于它线性无关，所以任意选取一个子集得到的异或和都不会相同，所以考虑把\(0\)放在左边，然后每次异或上线性无关组里的一个元素，取遍所有集合。

取集合可以递归进行：对于大小为\(m\)的集合，先把\(m-1\)的取遍，然后取第\(m\)个元素，然后再把\(m-1\)的集合取一遍，就可以保证相邻的集合只有一个位置不同，并且所有集合两两不同。

代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 303030
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
	inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
	inline void print(register int x)
	{
		if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
		while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
		while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
	}
	void file()
	{
		#ifdef NTFOrz
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifdef NTFOrz
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,K=20,m;
int a[sz],b[sz],lg2[sz];

int lb[sz],cnt;
bool insert(int x)
{
	drep(i,K,0) if (x>>i&1)
	{
		if (!lb[i]) return lb[i]=x,++cnt,1;
		x^=lb[i];
	}
	return 0;
}
int cur;
void dfs(int m)
{
	if (m==0) printf("%d ",cur);
	else dfs(m-1),cur^=b[m],dfs(m-1);
}

int main()
{
	file();
	read(n);
	rep(i,1,n) read(a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);
	int ans=0;
	rep(i,2,sz-1) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
	for (int k=0,i=1;k<=K;k++)
	{
		while (i<=n&&lg2[a[i]]==k) insert(a[i]),++i;
		if (cnt==k+1) ans=k+1;
	}
	printf("%d\n",ans);
	rep(i,0,K) lb[i]=0;
	rep(i,1,n) if (lg2[a[i]]<ans&&insert(a[i])) b[++m]=a[i];
	dfs(m);
	return 0;
}