LOJ

BZOJ

洛谷

BZOJ上除了0ms的Rank1啦。明明这题常数很好优化的。


首先,\(n=1\)时有\(2\)个位置放叶子,\(n=2\)时有\(3\)个... 可知\(n\)个点的有标号二叉树有\(n!\)种。(一个二叉树的中序遍历是唯一的,有\(n!\)种,也可以得到这个结论)

\(Sol1\)

考虑对每条边两边的点集计算贡献。即设一条边一边有\(size\)个点,另一边有\(n-size\)个点,那么它的贡献是\(size(n-size)\)。

直接把边放到点上,枚举每个点\(i\)(边就是\(i\to fa[i]\)),再枚举\(size_i\)。\(size_i\)就是\(i\)子树的大小。

考虑此时的方案数。\(i\)子树和\(i\)子树外是独立的。

对于\(i\)子树,有\(size_i!\)种树的形态,而标号分配有\(C_{n-i}^{size_i-1}\)种方案(\(i\)子树内点的编号要\(\geq i\))。所以\(i\)子树有\(size_i!\times C_{n-i}^{size_i-1}\)种。

对于\(i\)子树外部,首先构造出\(i\)个点的树有\(i!\)种方案。然后还有\(n-i-size_i+1\)个点需要放在\(i\)子树外的任意位置,方案数是\((i+1-2)(i+2-2)...(i+n-i-size_i+1-2)\)。两个乘起来,就是\(i(i-1)(n-size_i-1)!\)。

那么答案就是$$\sum_{i=2}n\sum_{size_i=1}{n-i+1}size_i(n-size_i)size_i!\cdot C_{n-i}^{size_i-1}\cdot i(i-1)(n-size_i-1)!$$

\(Sol2\)

递推。考虑由枚举大小为\(L,R\)的两棵左右子树来得到\(L+R+1\)个点的树。那么知道深度就可以算两棵子树间的距离了。

令\(f[i]\)表示\(i\)个节点的树,所有\(i!\)种可能中,所有点深度的和(根节点深度为\(1\))。

令\(g[i]\)表示\(i\)个节点的树,所有\(i!\)种可能中,所有点两两之间的距离的和。

转移的时候枚举左右子树的大小\(L,R=i-L-1\),有$$\begin{aligned}f[i]&=ii!+\sum_{L=0}{i-1}C_{i-1}L(f[L]R!+f[R]L!)\g[i]&=\sum_{L=0}{i-1}C_{i-1}L(g[L]R!+g[R]L!+f[L]R!(R+1)+f[R]L!*(L+1))\end{aligned}$$

这样\(g[n]\)就是答案啦。


//16540kb	196ms
#include <cstdio>
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=2005;
const LL LIM=1ll<<61; int C[N][N],fac[N],g[N]; int main()
{
int n,mod; scanf("%d%d",&n,&mod);
C[0][0]=fac[0]=fac[1]=1;
for(int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int j=1; j<i; ++j) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j], Mod(C[i][j]);
}
for(int i=1; i<=n; ++i) g[i]=1ll*i*(n-i)*fac[n-i-1]%mod*fac[i]%mod;
LL ans=0;
for(int i=2; i<=n; ++i)
for(int sz=n-i+1,tmp=i*(i-1); sz; --sz)
if((ans+=1ll*C[n-i][sz-1]*g[sz]%mod*tmp)>=LIM) ans%=mod;
printf("%lld\n",ans%mod); return 0;
}

BZOJ.5305.[HAOI2018]苹果树(组合 计数)的更多相关文章

  1. BZOJ 5305: [Haoi2018]苹果树 组合计数

    一定要注意要乘阶乘,细节很多. code: #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s ...

  2. luoguP4492 [HAOI2018]苹果树 组合计数 + dp

    首先,每个二叉树对应着唯一的中序遍历,并且每个二叉树的概率是相同的 这十分的有用 考虑\(dp\)求解 令\(f_i\)表示\(i\)个节点的子树,根的深度为\(1\)时,所有点的期望深度之和(乘\( ...

  3. bzoj 5305: [Haoi2018]苹果树

    Description Solution \(n\) 个点的二叉树的方案数是 \(n!\) 证明十分显然:新加入的点占掉了 \(1\) 个位置,新加了 \(2\) 个位置,那么多出来一个位置,所以第 ...

  4. [HAOI2018]苹果树(组合数学,计数)

    [HAOI2018]苹果树 cx巨巨给我的大火题. 感觉这题和上次考试gcz讲的那道有标号树的形态(不记顺序)计数问题很类似. 考虑如果对每个点对它算有贡献的其他点很麻烦,不知怎么下手.这个时候就想到 ...

  5. 【BZOJ5305】[HAOI2018]苹果树(组合计数)

    [BZOJ5305][HAOI2018]苹果树(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 考虑对于每条边计算贡献.每条边的贡献是\(size*(n-size)\). 对于某个点\(u\),如果它有一棵大 ...

  6. bzoj 2281 [Sdoi2011]黑白棋(博弈+组合计数)

    黑白棋(game) [问题描述] 小A和小B又想到了一个新的游戏. 这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色. 最左边是白色棋子,最右边是黑色棋子,相邻的棋子颜色 ...

  7. BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 [分治FFT 组合计数 | 多项式求逆]

    4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林 ...

  8. BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 [FFT 组合计数 容斥原理]

    4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林 ...

  9. bzoj 1004 Cards 组合计数

    这道题考察的是组合计数(用Burnside,当然也可以认为是Polya的变形,毕竟Polya是Burnside推导出来的). 这一类问题的本质是计算置换群(A,P)中不动点个数!(所谓不动点,是一个二 ...

随机推荐

  1. Leetcode经典试题:Longest Substring Without Repeating Characters解析

    题目如下: Given a string, find the length of the longest substring without repeating characters. Example ...

  2. 解决SkyP2M工程常见问题所参考的博客汇总

    工程是基于64位的 1 Error 26 error C2491: 'HUDManager::_viewport' : definition of dllimport static data memb ...

  3. Java中方法定义和调用的学习

    方法其实就是若干语句的功能集合. 参数(原料):就是进入方法的数据.返回值(原产物):就是从方法中出来的数据. 定义方法的完整格式:修饰符  返回值类型  方法名称(参数类型 参数名称,...){ 方 ...

  4. Map的几种取值方法

    public static void main(String[] args) throws IOException,ParseException { Map<String,String> ...

  5. my.ini的路径分隔符

    又踩了个坑,今天安装mysql,路径为F:\test\mysql于是我配置my.ini如下 [mysqld] basedir=F:\test\mysql datadir=F:\test\mysql\d ...

  6. 有关mysql索引

    1.首先我们需要明确一下什么是索引以及为什么要使用索引: 索引在MySQL中也叫做“键”,是存储引擎用于快速找到记录的一种数据结构.在生产环境中,对于数据库我们最常进行的是查询的操作,而当我们的数据非 ...

  7. 在可编辑div的光标下插入html

    function pasteHtmlAtCaret(html, selectPastedContent) {//参数1为要插入的html //参数2为boolean 是否选中插入的html 默认为fa ...

  8. [转] GloVe公式推导

    from: https://pengfoo.com/post/machine-learning/2017-04-11 GloVe(Global Vectors for Word Representat ...

  9. Java基础 -- String,StringBuilder,StringBuffer三者的区别

    结论 1-String,StringBuilder,StringBuffer 之间的区别主要是在两个方面,即运行速度和线程安全这两方面: 首先说运行速度,或者说是执行速度,在这方面运行速度快慢为:St ...

  10. [转】Python--遍历列表时删除元素的正确做法

    转自:https://blog.csdn.net/cckavin/article/details/83618306   一.问题描述 这是在工作中遇到的一段代码,原理大概和下面类似(判断某一个元素是否 ...