一、树的基本概念

(1)树(Tree)的概念:树是一种递归定义的数据结构,是一种重要的非线性数据结构。

树可以是一棵空树,它没有任何的结点;也可以是一棵非空树,至少含有一个结点。

(2)根(Root):有且仅有一个结点的非空树,那个结点就是根。

(3)子树(Subtree):在一棵非空树中,除根外,其余所有结点可以分为m(m≥0)个互不相交的集合。每个集合本身又是一棵树,称为根的子树。

(4)结点(Node):表示树中的元素及若干指向其子树的分支。

(5)结点的度(Degree):一个结点拥有的子树数目称为该结点的度。

(6)叶子结点(Leaf):度为0的结点。

(7)孩子(Child):结点子树的根称为该结点的孩子。

(8)双亲(Parents):孩子结点的上层结点叫该结点的双亲。

(9)兄弟(Sibling):同一双亲的孩子。

(10)树的度:一棵树中最大的结点度数。

(11)结点的层次(Level):从根结点开始定义根为第一层,它的孩子为第二层,依此类推。

(12)深度(Depth):树中结点最大层次的值。

(13)有序树:树中的各子树自左向右有序的称为有序树。

(14)无序树:树中的各子树自左向右无序的称为无序树。

(15)森林(Forest):是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。

(16)祖先:是指从根结点到该结点之间所有的结点。

如图所示:

A是根结点,A结点的度是3,D结点的度是3;因为3是结点的度的最大值,所以这棵树的度是3;E、G、H、I、K、L和M是叶子结点。

A在树的第一层,B、C、D在树的第二层,E、F、G、H、I、J在树的第三层,K、L、M在树的第四层;树的深度是4。

树从左往右是有序的,这是一棵有序树;E结点的祖先是A、B。
 

二 二叉树

  概念:二叉树又叫二分树,它的特点是每个结点最多只有二棵子树,也就是二叉树中没有度大于2的结点。二叉树的子树有左右之分,严格区分左孩子、右孩子,其次序不能颠倒。

满二叉树

   概念:一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树

  概念:可以对满二叉树的结点进行连续编号,约定编号从根结点起,自上而下,自左至右。由此可以引出完全二叉树的定义。深度为k的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应,称之为完全二叉树。

  完全二叉树的特点是:

  (1)叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;(2)对任一结点,若其右分支下的子孙的最大层次为l,则其左分支下的子孙的最大层次必为l或l+1。

三 性质

  性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)

  性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点,(k>=1).

  性质3: 对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数位n0,度为2的结点数为n2,则 n0 = n2 + 1

  性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1  

  性质5: 如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为 ⌊log2n⌋+1 )的结点按层序编号(从第1层到第 ⌊log2n⌋+1 层,每层从左到右),则对任一结点i(1<=i<=n),有:

    (1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲PARENT(i)是结点⌊i/2⌋。

    (2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。

    (3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1。

四 python 代码

代码

class Node:
"定义节点类"
def __init__(self,item):
self.item=item
self.lchild=None
self.rchild=None class Tree:
"定义树类"
def __init__(self):
self.root=None def add(self,item):
node=Node(item)
if not self.root:
self.root=node
return
queue=[self.root,]
while queue:
current_node=queue.pop(0)
if current_node.lchild is None:
current_node.lchild=node
return
else:
queue.append(current_node.lchild)
if current_node.rchild is None:
current_node.rchild=node
return
else:
queue.append(current_node.rchild)
def breadth_travel(self):
'''广度遍历'''
if self.root is None:
return
queue=[self.root,] while queue:
current_node=queue.pop(0)
print(current_node.item,end=" ")
if current_node.lchild is not None:
queue.append(current_node.lchild)
if current_node.rchild is not None:
queue.append(current_node.rchild) def preorder(self,node):
'''先序遍历----根->左->右'''
if node is None:
return
print(node.item,end=" ")
self.preorder(node.lchild)
self.preorder(node.rchild) def inorder(self,node):
'''中序遍历----左->中->右'''
if node is None:
return
self.inorder(node.lchild)
print(node.item,end=" ")
self.inorder(node.rchild) def postorder(self,node):
'''后序遍历----左->右->中'''
if node is None:
return
self.postorder(node.lchild)
self.postorder(node.rchild)
print(node.item,end=" ") if __name__ == '__main__':
tree=Tree()
tree.add(0)
tree.add(1)
tree.add(2)
tree.add(3)
tree.add(4)
tree.add(5)
tree.add(6)
tree.add(7)
tree.add(8)
tree.add(9)
print('-----广度遍历-----')
tree.breadth_travel()
print('\n-----深度先序遍历-----')
tree.preorder(tree.root)
print('\n-----深度中序遍历-----')
tree.inorder(tree.root)
print('\n-----深度后序遍历-----')
tree.postorder(tree.root)

树形结构

结果

-----广度遍历-----
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-----深度先序遍历-----
0 1 3 7 8 4 9 2 5 6
-----深度中序遍历-----
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6
-----深度后序遍历-----
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0

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原文:https://blog.csdn.net/tfygg/article/details/46763389

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