题目:

1079 中国剩余定理

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一个正整数K,给出K Mod 一些质数的结果,求符合条件的最小的K。例如,K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

Input

第1行:1个数N表示后面输入的质数及模的数量。(2 <= N <= 10)

第2 - N + 1行,每行2个数P和M,中间用空格分隔,P是质数,M是K % P的结果。(2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

Output

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

Input示例

3

2 1

3 2

5 3

Output示例

23

分析:

若 m1, m2, m3…mi 是两两互素的正整数, 则同余方程组:

x = a1 (mod m1)

x = a2 (mod m2)



x = an (mod mn)

有模 M = m1 * m2 * m3 * m4 … mn 的唯一解。

令 Mi = M / mi;

易得 (Mi, mi) = 1 , 所以有 MiPi = 1(mod mi)

则 方程组的解 x=∑ni=1ai*Mi*Pi

实现:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 100;

LL a[maxn], m[maxn];

void Exgcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y) {
if(b == 0) { d = a, x = 1, y = 0; }
else {
Exgcd(b, a%b, d, y, x);
y -= x * (a/b);
}
} LL China(int n, LL* a, LL* m) {
LL M = 1, d, y, x = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i) M *= m[i];
for(int i = 0; i < n; ++i) {
LL w = M / m[i];
Exgcd(m[i], w, d, d, y);
x = (x + y*w*a[i]) % M;
}
return (x + M) % M;
} int main() {
int n;
while(cin >> n) {
for(int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> m[i] >> a[i];
}
cout << China(n, a, m) <<endl;
}
}

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