bzoj1004

等价类计数问题首先要构造出群

首先，给出的洗牌法就相当于置换，

再加上置换(1)(2)(3)……(n),可以构成一个包含m+1个置换的置换群；

这里要解释一下构成置换群的四个条件

1. 封闭性 任意两个置换相乘所得的置换还在群内 题目中已经给定保证任意多次洗牌都可用这m种洗牌法中的一种代替

2. 结合性 显然置换相乘本身就满足结合律

3. 单位元 存在一个单位元e是的a*e=a成立，显然置换(1)(2)(3)……(n)就是这样一个单位元

4. 逆元   任意一个置换a都存在一个置换b使得a*b=e 这是有题目给定条件对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

这样置换群就弄出来了，然后就是根据Burnside引理，找出每个置换不动点的个数

每个置换可以拆成多个不相交的循环的积，不动点就要求每个循环内元素颜色相同

由于颜色存在数量限制，不能用polya求，只能用dp求出

最后注意求平均数设计到除法取模，我们还要求m+1的乘法逆元

 var s,r:array[..] of longint;
     f:array[..,..,..] of longint;
     ans,x,y,i,j,n,m,a,b,c,p,t:longint;
     v:array[..] of boolean;
 
 procedure exgcd(a,b:longint;var x,y:longint);
   var xx,yy:longint;
   begin
     if b= then
     begin
       x:=;
       y:=;
     end
     else begin
       exgcd(b,a mod b,x,y);
       xx:=x;
       yy:=y;
       x:=yy;
       y:=xx-a div b*yy;
     end;
   end;
 
 function calc(n:longint):longint;  
 //f[i,j,k]表示到第i个循环，红色用了j次，蓝色用了k次，由于每个循环内颜色相同，所以绿色用的次数可以根据i,j,k算出
   var t,i,j,k:longint;
   begin
     f[,,]:=;
     t:=;
     for i:= to n do
     begin
       t:=t+s[i];
       for j:= to a do
         for k:= to b do
         begin
           f[i,j,k]:=;
           x:=t-j-k;
           if (x>c) then continue;
           if x< then break;
           if j>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-,j-,k]) mod p;  //要涂就一定要足够涂满循环内全部元素
           if k>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-,j,k-]) mod p;
           if x>=s[i] then f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-,j,k]) mod p;
         end;
     end;
     exit(f[n,a,b]);
   end;
 
 begin
   readln(a,b,c,m,p);
   n:=a+b+c;
   for i:= to n do
     s[i]:=;
   ans:=calc(n);
   for i:= to m do
   begin
     for j:= to n do
       read(r[j]);
     fillchar(v,sizeof(v),false);
     fillchar(s,sizeof(s),);
     t:=;
     for j:= to n do
       if not v[j] then
       begin
         x:=j;
         inc(t);
         while not v[x] do
         begin
           v[x]:=true;
           inc(s[t]);  //统计循环规模
           x:=r[x];
         end;
       end;
     ans:=(ans+calc(t)) mod p;  
   end;
   x:=;
   y:=;
   exgcd(m+,p,x,y);
   writeln(ans*(x+p) mod p);  //注意通过扩展欧几里得求出的乘法逆元可能是负数
 end.