LuoguB2147 求 f(x,n) 题解

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求给定 \(x,n\)，求 \(f(x,n)=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\sqrt{(n-2)+\sqrt{\dots+2+\sqrt{1+x}}}}}\) 的值。

Solution

乍一看这题目很烦人，其实，如果我们可以转换一下，这道题目就很简单。

我们不妨算下：

\[\begin{aligned}f(x,1)&=\sqrt{1+x}\\f(x,2)&=\sqrt{2+\sqrt{1+x}}=\sqrt{2+f(x,1)}\\f(x,3)&=\sqrt{3+\sqrt{2+\sqrt{1+x}}}=\sqrt{3+f(x,2)}=\sqrt{3+\sqrt{2+f(x,1)}}\\&\vdots\end{aligned}
\]

然后我们可以发现，\(f(x,n)\) 是一个层层包含的递归关系：如果 \(n=1\)，那么 \(f(x,n)=\sqrt{1+x}\)，否则，\(f(x,n)=\sqrt{n+f(x,n-1)}\)，于是就这么样递归下去然后向上累加答案，足够通过本题。

然而，如果 \(n\) 的范围很大，递归的层数很多，我们如果还用递归的话就会内存爆炸，那么怎么办呢？我们考虑把它转为一个递推公式：

\[f_{x,n}=\begin{cases}\sqrt{1+x}&n=1\\\sqrt{n+f_{x,n-1}}&n>1\end{cases}
\]

然后你就可以明白了，这不就可以用数组直接循环递推出来就可以了吗？你可能发现了第一维的 \(x\)，然后你注意到题目中 \(x\) 是个实数，那么就不能够以它作为数组的第一维，那么怎么办？我们又发现，\(n>1\) 时，\(f_{x,n}\) 只和 \(n\) 和 \(f_{x,n-1}\) 有关，并不和 \(x\) 有关。所以我们考虑直接将第一维省去，得到：

\[f_n=\begin{cases}\sqrt{1+x}&n=1\\\sqrt{n+f_{n-1}} &n>1\end{cases}
\]

然后你就可以用递推通过本题了。

Code

1 递归

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

inline double f(double x, int n) {
	if(n > 1) return sqrt(n + f(x, n - 1));
	else return sqrt(1 + x);
}

int main() {
	double x; scanf("%lf", &x);
    int n; scanf("%d", &n);
	return printf("%.2lf", f(x, n)), 0;
}

2 递推

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	double x; scanf("%lf", &x);
    int n; scanf("%d", &n);
	double f[10007] = {0.0}; f[1] = sqrt(1 + x);
	F(int, i, 2, n) f[i] = sqrt(i + f[i - 1]);
	return printf("%.2lf", f[n]), 0;
}