[高数]高数部分-Part II 导数与微分

Part II 导数与微分

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• Part II 导数与微分
  • 一元函数微分的定义
  • 一元函数定义注意点
  • 基本求导公式
  • 基本求导方法
  • 复合函数求导
  • 隐函数求导
  • 对数求导法
  • 反函数求导
  • 参数方程求导
  • 显函数
  • 隐函数

一元函数微分的定义

\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 记为{f}'(x_{0})\)

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一元函数定义注意点

1. 左右有别
   • \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右导数\)
   • \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左导数\)
   • \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
2. 广义化狗
   • \(\triangle x \rightarrow (广义化)狗\)
   • \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
3. 一静一动
   • \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型错误\)
4. 换元法
   • \(换元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)

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基本求导公式

1. \({(x^a)}'=ax^{a-1}\)

2. \({(a^x)}'=a^xlna\)

3. \({(e^x)}'=e^x\)

4. \({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)

5. \({(sinx)}'=cosx\)

6. \({(cosx)}'=-sinx\)

7. \({(tanx)}'=sec^2x\)

8. \({(cotx)}'=-cscx^2x\)

9. \({(secx)}'=-secxtanx\)

10. \({(cscx)}'=-cscxcotx\)

11. \({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

12. \({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

13. \({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)

14. \({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)

15. \({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)

16. \({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)

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基本求导方法

复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导

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复合函数求导

复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数

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隐函数求导

显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0

方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)

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对数求导法

对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。

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反函数求导

\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)

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参数方程求导

\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t为参数\)

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显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。

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隐函数

隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如\(y=\cos(x)\)。

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